Homothétie et effet d'un changement d'échelle

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|, les aires par k^2 et les volumes par |k|^3. • Sur un plan au 1/20, la cote réelle s'obtient en multipliant la cote du plan par 20. • Un vérin dont le diamètre est multiplié par k produit un effort multiplié par k^2 et consomme un volume d'air multiplié par k^3. • Les angles et les formes sont conservés : c'est ce qui permet de lire un plan.

Le cours

1. Définition : multiplier toutes les longueurs par un même rapport L'homothétie est une transformation du plan de centre O et de rapport k non nul : tout point M est envoyé sur le point M' situé sur la demi-droite [OM) avec OM' = k OM. Appliquée à une pièce mécanique, elle transforme toutes ses longueurs dans le même rapport, sans modifier ses formes ni ses angles. OM' = k OM Grandeur géométrique Effet de l'homothétie de rapport k Longueurs, diamètres, courses multipliées par |k| Aires, sections multipliées par k^2 Volumes, masses à densité égale multipliées par |k|^3 Angles, rapport des formes conservés 2. Le dessin d'un plan de mécanique est une homothétie de la pièce Un plan au 1/20 est l'image de la pièce réelle par une homothétie de rapport k = 1/20 = 0,05. Une longueur de 120\ mm y est tracée sur 6\ mm. Pour retrouver une dimension réelle, on applique le rapport inverse, ce qui revient à multiplier par 20. • Échelle 1/20 : multiplier la cote du plan par 20 pour obtenir la cote réelle. • Échelle 1/2 : multiplier par 2 ; elle convient aux pièces de petite taille, qui tiennent sur la feuille même à demi-taille. • À partir de l'échelle 1/25, un perçage de diamètre 12\ mm ne mesure plus que 0,48\ mm sur le papier : il devient illisible : on le représente par son axe et on inscrit sa cote réelle, car les cotes d'un plan indiquent toujours les dimensions réelles. 3. Effet d'un changement d'échelle sur un actionneur Dimensionner un vérin, c'est souvent choisir un diamètre plutôt qu'un autre. Si le diamètre est multiplié par k, l'effort à pression donnée est multiplié par k^2, parce qu'il dépend d'une section ; la course, qui est une longueur, est multipliée par k ; le volume d'air consommé, qui est une section multipliée par une course, est multiplié par k^3. F' = k^2 F d' = k d V' = k^3 V • Agrandir un vérin de 50\ \% sur toutes ses cotes (k = 1,5) multiplie l'effort par 1,5^2 = 2,25 mais la consommation d'air par 1,5^3 3,4 : le surdimensionnement coûte cher en énergie. 4. Piège : appliquer le rapport de longueur aux aires et aux volumes Réduire une maquette au 1/20 ne réduit pas son volume d'un vingtième : il le divise par 8\,000. Multiplier par 20 au lieu de 20^3 conduit à des dimensionnements d'actionneur faux d'un facteur 400. Second piège : une échelle se lit toujours dans le même sens. Sur un plan au 1/20, la pièce réelle est vingt fois plus grande que le dessin ; inverser ce rapport revient à agrandir la pièce au lieu de la réduire.

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