Réponse d'un système à un changement de consigne

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• L'état final s'obtient en appliquant le coefficient à la nouvelle consigne : s_final = a e. • Un changement de consigne e produit un changement de commande s = a e. • Une butée en sortie impose e_ = s_ / a : au-delà, la sortie reste bloquée à la butée. • Le modèle linéaire donne l'état permanent, jamais le temps de stabilisation.

Le cours

1. Ce que prédit un modèle linéaire lors d'un changement de consigne Un régulateur d'un système technique reçoit une consigne e, en volts, et délivre une commande s = a e qu'un actionneur transforme en déplacement. Lorsqu'on modifie la consigne, l'état final s'obtient en appliquant la relation à la nouvelle valeur : s_final = a e_nouveau L'écart de commande produit par le changement de consigne est proportionnel à l'amplitude du changement : s = a e Le modèle linéaire décrit l'état permanent atteint après un temps de stabilisation. Il ne dit rien du temps mis pour l'atteindre : cette information relève du transitoire, que l'on obtient avec un modèle dynamique ou avec un relevé expérimental. 2. La saturation limite le domaine des consignes admissibles Un étage de puissance d'un variateur est souvent borné à 15\ V de sortie. Avec un coefficient a = 2,5, cette borne rend la relation linéaire valide au plus jusqu'à une certaine consigne : e_ = 15,02,5 = 6,00\ V Consigne e en volts Commande prévue 2,5 e Commande réelle 4,00 10,0 10,0\ V 5,60 14,0 14,0\ V 6,00 15,0 15,0\ V, limite exacte 7,00 17,5 15,0\ V, saturée 3. Méthode : état initial, état final, écart, puis validité • Je calcule l'état final théorique en appliquant le coefficient à la nouvelle consigne. • Je calcule l'écart de commande s = a e, qui prédit de combien la sortie doit bouger. • Je compare l'état final théorique à la butée de l'étage de puissance : au-dessus, la sortie ne suit plus le modèle. • Au-delà de la butée, je retiens que la sortie reste égale à sa valeur maximale : le quotient s / e y diminue, ce n'est plus le coefficient du système. • Je signale dans la note de calcul que le temps de stabilisation n'est pas traité par ce modèle. 4. Piège : oublier la butée et annoncer une commande impossible La première erreur consiste à appliquer la relation linéaire au-delà de la butée et à annoncer une commande que la machine ne peut pas produire : 17,5\ V pour un étage de puissance borné à 15,0\ V. La seconde erreur consiste à confondre l'écart de consigne et l'écart de commande. Passer de 4,00 à 5,60\ V ajoute 1,60\ V de consigne et 4,0\ V de commande : confondre les deux revient à se tromper d'un facteur a = 2,5.

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