Fonction linéaire et rapport constant entre deux grandeurs

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Entre l'effort et la pression d'un vérin, la relation est linéaire : F = S p, de coefficient la section S. • L'unité du coefficient fixe celle du résultat : S en m^2 et p en Pa donnent F en N, car 1\ Pa = 1\ N/m^2. • Le rapport F/p est constant : c'est le test de validité du modèle sur la plage de service. • En rentrée de tige, la section utile est annulaire : S_piston - S_tige.

Le cours

1. Une grandeur technique reliée à une autre par un rapport constant Un vérin pneumatique de bridage transforme la pression de l'air en effort. Le piston offre une section S, et l'effort développé vaut toujours le produit de la pression par cette section : F = p S soit F = k p avec k = S La relation est donc une fonction linéaire de la pression p, de coefficient k = S. Le rapport F/p ne dépend pas de la pression de service : c'est la section du piston, exprimée en m^2, et l'unité du coefficient donne l'unité du résultat, des newtons. Pour un vérin de diamètre intérieur 140\ mm, la section vaut S = (0,070)^2 1,54 10^-2\ m^2, soit environ 154\ cm^2 : c'est le nombre à garder pour tous les calculs du chapitre. 2. Le tableau vérifie le rapport constant sur toute la plage La pression de service se règle entre 2,0 et 6,0\ bar. Le tableau ci-dessous donne l'effort correspondant : la troisième ligne montre que le rapport reste constant, donc que la fonction linéaire est un modèle valide sur cette plage. Réglage n° 1 n° 2 n° 3 Pression p en bar 2,0 4,0 6,0 Pression p en pascal 2,0 10^5 4,0 10^5 6,0 10^5 Effort F en newtons 3\,079 6\,158 9\,236 Rapport F/p 1,54 10^-2 1,54 10^-2 1,54 10^-2 3. Méthode : appliquer le rapport sans changer d'unité • Je choisis une unité unique pour la grandeur calculée : des pascals pour la pression, des newtons pour l'effort. • Je note le coefficient dans cette unité : 1,54 10^-2\ m^2 pour la section complète, et 1,490 10^-2\ m^2 pour la section annulaire, quand l'air agit côté tige. Garder 154\ cm^2 sans conversion donnerait un résultat faux d'un facteur 10^4. • Je multiplie : pour 5,5\ bar, F = 1,54 10^-2 5,5 10^5 8\,470\ N avec la section complète, et environ 8\,200\ N avec la section annulaire. • Je vérifie l'ordre de grandeur : à 6\ bar, l'effort doit dépasser légèrement 9\ kN, ce qui est cohérent avec un vérin de bridage de dimension industrielle ; une valeur dix fois plus faible aurait signalé une erreur d'unité. 4. Piège : oublier le passage de la tige dans le piston Quand le vérin tire (rentrée de tige), l'air agit sur la face du piston côté tige : la partie de cette face occupée par la tige ne reçoit aucune pression. Il faut alors travailler avec la section annulaire ; en sortie de tige, c'est la section complète qui travaille : S_annulaire = S_piston - S_tige Avec une tige de diamètre 25\ mm, on retire 4,91 10^-4\ m^2 à la section du piston. À 5,5\ bar, cela représente environ 270\ N d'effort perdus : plus de 3\ \% de l'effort calculé avec la section complète.

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