Composition de fonctions linéaires et conséquence sur le gain

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• La composition de deux fonctions linéaires est linéaire : f g a pour coefficient le produit des coefficients. • Le gain d'un amplificateur est sans unité ; la sensibilité d'une chaîne est en V/mm. • Sensibilité de la chaîne capteur-amplificateur : 0,02 4 = 0,08\ V/mm. • Une erreur de tension se convertit en position en divisant par la sensibilité, donc en agrandissant l'incertitude.

Le cours

1. Composer deux fonctions linéaires, c'est multiplier les coefficients La chaîne de mesure d'un chariot est constituée de deux étages : un capteur qui transforme la position x en tension u, puis un amplificateur qui transforme cette tension en tension de commande s. u = a_1 x s = G u En remplaçant u dans la seconde relation, on obtient la relation de la chaîne complète : s = G (a_1 x) = (G a_1) x La composition de deux fonctions linéaires est encore une fonction linéaire, et son coefficient est le produit des coefficients. Ce coefficient global s'appelle la sensibilité de la chaîne. 2. Suivre les grandeurs intermédiaires évite les erreurs d'unité Pour chaque étage, on écrit la relation avec son unité, puis on vérifie que le coefficient de l'étage suivant est bien sans dimension. L'amplificateur a un gain : c'est le rapport de deux tensions, il n'a pas d'unité, contrairement au coefficient du capteur. Étage Relation Coefficient et son unité Capteur de position u = 0,02 x 0,02\ V/mm Amplificateur de gain 4 s = 4 u 4, sans unité Chaîne complète s = 0,08 x 0,08\ V/mm 3. Méthode : calculer le coefficient global, puis vérifier les bornes • J'écris la relation de chaque étage avec ses unités, et je garde une ligne par étage. • Je multiplie les coefficients : 0,02 4 = 0,08\ V/mm. • Je vérifie les bornes de la chaîne : la course utile de 0 à 250\ mm doit donner une commande de 0 à 0,08 250 = 20,0\ V, valeur que l'amplificateur peut effectivement délivrer. • Je reviens ensuite à la relation inverse : la position se déduit de la commande en divisant par le coefficient global, jamais en multipliant. 4. Piège : confondre le gain et la sensibilité, et propager une erreur en sens inverse Le gain d'un amplificateur est un nombre sans unité, la sensibilité de la chaîne complète est exprimée en V/mm. Annoncer « un gain de 0,08 » pour la chaîne, sans unité, fait perdre l'information essentielle : 0,08 volt par millimètre. De même, la sensibilité de la chaîne n'est pas celle du capteur : 0,08 et non 0,02\ V/mm. Second piège, plus fréquent en pratique : quand on connaît la commande et qu'on cherche la position, l'incertitude se propage en sens inverse. Un pas de 0,1\ V du convertisseur correspond à 0,10,08 = 1,25\ mm de position, et non à 0,1 0,08 = 0,008\ mm : multiplier au lieu de diviser donne un résultat 156 fois trop petit.

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