Dimensionnement d'un actionneur par proportionnalité

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Un moteur fournit un couple : T = F r, avec r en mètres et T en N m. • Un réducteur de rapport i multiplie le couple par i et divise la vitesse par i. • Le couple moteur nécessaire vaut T_moteur = T/i . • Le rapport d'un engrenage vaut i = z_couronnez_pignon, et l'entraxe est la somme des rayons.

Le cours

1. De l'effort demandé au couple du moteur Un système mécanique ne se dimensionne jamais en efforts seuls : un moteur fournit un couple, pas une force. Pour une action qui pousse sur un bras de longueur r, le couple utile nécessaire sur l'arbre est le produit de l'effort par le bras : T = F r Un réducteur de rapport i multiplie le couple par i et divise la vitesse par le même nombre, en négligeant les pertes. Le couple moteur requis s'écrit alors : T_moteur = T/i Le rapport de réduction se lit sur le train d'engrenages : si la couronne a 30 dents et le pignon 10, alors i = z_couronnez_pignon = 3, et l'entraxe vaut la somme des deux rayons. 2. Géométrie d'un étage d'engrenages et relations associées Deux engrenages qui s'engrènent ont le même module, c'est-à-dire le même diamètre par nombre de dents : m = d / z. Cette contrainte est ce qui impose le diamètre de la couronne dès que celui du pignon est choisi. Grandeur Pignon Couronne Nombre de dents z 10 30 Diamètre d = m z 18\ mm 54\ mm Module commun m commun aux deux 1,80\ mm Entraxe, somme des rayons commun aux deux 36,0\ mm Les deux relations de réduction, où i est le rapport et le rendement, se lisent sur ce schéma : n_arbre = n_moteuri T_arbre = T_moteur i Train d'engrenages : rapport 3 entraxe 36,0 mm pignon 10 dents d = 18 mm couronne 30 dents d = 54 mm Module commun : m = d / z = 1,80 mm pour les deux pièces. Rapport 54 / 18 = 3 : la vitesse est divisée par 3, le couple multiplié par 3. 3. Méthode de dimensionnement en quatre étapes • Je calcule l'effort à vaincre sur le mécanisme, en tenant compte de l'accélération et du frottement éventuel. • Je le transforme en couple par T = F r, le bras r étant exprimé en mètres. • Je choisis un rapport de réduction issu d'un catalogue, en tenant compte de la vitesse aussi bien que du couple. • Je calcule le couple moteur par T_moteur = T / (i ) et je vérifie que la vitesse moteur reste dans la plage du moteur choisi. • Je convertis enfin la vitesse en radians par seconde avec = 2 n/60 pour calculer la puissance P = T : cette formule exige des rad/s, alors que les catalogues donnent souvent la vitesse en tours par minute. 4. Piège : inverser le sens du rapport de réduction Un réducteur augmente le couple et diminue la vitesse. Le couple du moteur est donc plus petit que le couple sur l'arbre : il faut diviser. Multiplier par i revient à concevoir un accélérateur, et conduit à un couple moteur (i )^2 fois trop grand : avec i = 20 et = 0,88, environ 310 fois trop grand. Second piège : oublier le rendement. Sans correction, le couple moteur calculé est trop faible de 10\ \% environ, ce qui suffit à faire surchauffer le moteur en fonctionnement prolongé.

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