Linéarité d'un système et conditions de validité

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Un système est linéaire si y = a x : la réponse à une somme est la somme des réponses. • On teste la linéarité par le quotient y/x, calculé pour x 0 seulement. • Un système réel n'est linéaire que sur un domaine borné : seuil, saturation, hystérésis et dérive le rendent non linéaire. • Le coefficient se déclare toujours avec son domaine de validité.

Le cours

1. Un système linéaire superpose les réponses Un système est dit linéaire lorsque la grandeur de sortie est proportionnelle à la grandeur d'entrée sur tout le domaine d'emploi, sans constante ni seuil : y = a x. Cette définition équivaut à deux propriétés que l'on peut tester expérimentalement : Propriété Forme Homogénéité y(k x) = k y(x) Additivité y(x_1 + x_2) = y(x_1) + y(x_2) Ensemble, ces deux propriétés disent que la réponse à une consigne faite de deux termes est la somme des réponses à chaque terme. C'est ce qui autorise à traiter séparément chaque étage d'une chaîne. 2. Tester la linéarité avec les quotients mesurés On relève la sortie y pour plusieurs valeurs connues de l'entrée x, puis on calcule le quotient y/x pour chacune d'elles. Si le système est linéaire et bien réglé, tous ces quotients sont proches les uns des autres : on retient le plus petit et le plus grand pour mesurer l'étendue relative. Entrée x en mm Sortie mesurée y en volts Quotient y/x 10 0,52 0,0520 20 1,01 0,0505 30 1,49 0,0497 40 2,00 0,0500 3. Les conditions de validité à vérifier avant d'utiliser le modèle • Seuil ou zone morte : tant que l'entrée reste en dessous d'un seuil, la sortie reste nulle. Le système n'est plus linéaire près de zéro. • Saturation : au-delà d'une entrée maximale, la sortie ne suit plus la droite et se bloque à sa valeur limite. • Hystérésis : la sortie dépend du chemin suivi, et non seulement de l'entrée ; le coefficient n'est plus unique. • Dérive : le coefficient dépend du temps et de la température, il faut donc le réétalonner périodiquement. • La linéarité n'est donc jamais générale : elle est vraie sur un domaine, qu'il faut écrire à côté du coefficient dans la note de calcul. 4. Piège : calculer le quotient en x = 0 Le quotient y/x n'a aucun sens pour x = 0 : c'est une division par zéro. La mesure en x = 0 ne sert pas à calculer un coefficient, elle sert au contraire à vérifier que le système ne possède pas de décalage, c'est-à-dire que y(0) = 0. Autre piège courant : conclure à la linéarité sur un seul couple de mesures. Un quotient isolé ne prouve rien, il faut au minimum deux valeurs très éloignées dans le domaine d'emploi.

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