Grandeur dérivée et unité d'une grandeur dérivée

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Une grandeur dérivée est construite par produit ou quotient de grandeurs de base ; son unité est construite de la même façon. • À retenir absolument : 1\ N = 1\ kg m s^-2, 1\ Pa = 1\ N m^-2, 1\ W = 1\ J s^-1. • 1\ bar = 10^5\ Pa et 1\ m^3 = 1000\ L : la conversion se fait avant le calcul. • Un rapport de deux grandeurs de même nature (rendement, gain d'un amplificateur) est sans unité.

Le cours

1. Notion de passerelle : ce qui vient de la physique Cette notion relève du programme de physique-chimie, pas du programme de mathématiques. Elle est donnée ici comme une passerelle, parce que tous les calculs du chapitre — efforts, débits, puissances, rendements, cotes — manipulent des grandeurs dérivées. Aucune exigence du programme de mathématiques n'y correspond. Une grandeur dérivée est une grandeur construite à partir de grandeurs de base par un produit ou un quotient. Elle s'exprime dans une unité dérivée, elle aussi construite de la même façon. 1\ N = 1\ kg m s^-2 1\ Pa = 1\ N m^-2 1\ W = 1\ J s^-1 2. Les grandeurs dérivées utilisées dans ce chapitre Grandeur Relation Unité dérivée Vitesse l / t m/s Débit volumique V / t m^3/s ou L/min Accélération v / t m/s^2 Force m a N = kg m s^-2 Pression F / S Pa = N m^-2 Couple F d N m Puissance E / t W = J s^-1 Rendement P_utile / P_fournie sans unité 3. Méthode : convertir dans les unités du système international • Je ramène la grandeur aux unités de base : le mètre, le kilogramme et la seconde. • Je convertis les unités utiles à cette grandeur : 1\ bar = 10^5\ Pa, 1\ m^3 = 1000\ L, 1\ h = 3600\ s, 1\ L/min 1,67 10^-5\ m^3/s. • Je fais ensuite le calcul, puis je convertis le résultat dans l'unité du cahier des charges. • Je vérifie la cohérence dimensionnelle : un calcul d'effort qui donne des mètres est un calcul faux, et le repère est là avant même de comparer les nombres. 4. Piège : distinguer une unité de puissance et une unité d'énergie Le watt est une unité de puissance et le kilowattheure une unité d'énergie : écrire qu'un moteur « a une puissance de 2\ kWh » est faux. Un moteur de 2\ kW qui fonctionne pendant une heure consomme une énergie de 2\ kWh, soit 2\,000 3\,600 = 7,2 10^6\ J. Autres confusions fréquentes : le newton et le newton-mètre, qui correspondent à une force et à un couple ; le pascal et le bar, qui diffèrent d'un facteur 10^5 ; le litre par minute et le mètre cube par seconde, avec 1\ L/min 1,67 10^-5\ m^3/s.

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