Bilan : Synthèse et méthode sur Grandeurs proportionnelles et linéarité des chaînes techniques

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• L'ordre de travail est fixe : lire la chaîne, modéliser les blocs, cumuler les gains, faire le bilan d'énergie, dimensionner, puis contrôler la cote. • Gains et rendements en cascade se multiplient ; un réducteur de rapport i multiplie le couple et divise la vitesse par i, aux pertes près. • Effort d'un vérin : F = S p ; puissance en translation : P = F v ; puissance absorbée : P_abs = P_u. • Tolérance d'un empilement de cotes : T_i en méthode garantie, T_i^2 en méthode statistique.

Le cours

1. La chaîne de méthode, du schéma jusqu'à la cote vérifiée Tous les calculs du chapitre s'enchaînent dans le même ordre : lire la chaîne, modéliser les blocs, cumuler les gains, faire le bilan d'énergie, dimensionner, puis contrôler la cote. Inverser cet ordre est la cause la plus fréquente d'un résultat absurde. Étape Relation employée Erreur classique Lire et modéliser y = a x oublier le seuil ou la saturation Cumuler les gains a_global = a_i additionner les rendements Bilan d'énergie E_f = E_u + E_p mélanger des durées Dimensionner T_m = F r / (i ) inverser le rapport i 2. Les sept relations à savoir manipuler sans hésiter Ce sont presque toutes des fonctions linéaires ou des produits de coefficients (seule la conformité est une inégalité) : c'est cette homogénéité qui permet d'assembler les modèles entre eux. • Débit d'air et pression : Q = k p, en L/min par bar. • Effort d'un vérin : F = S p, en N. • Sensibilité d'une chaîne : s = (a_1 G) x, coefficient a_1 G en V/mm. • Débit d'un vérin : Q = S v, en m^3/s. • Rendement d'une chaîne : = _1 _2 _3, sans unité. • Couple moteur : T_m = F r / (i ), en N m. • Conformité d'une cote : |mesure - nominal| T, en mm. 3. Méthode complète appliquée à un poste de bridage Un poste de bridage pneumatique doit appliquer un effort de 12\,000\ N avec un vérin de diamètre 160\ mm et une course à la vitesse 0,020\ m/s. La chaîne complète a un rendement de 0,85 et un cycle de 6\ s. Voici l'enchaînement complet des calculs, dans l'ordre où ils doivent être écrits. • Effort vers pression : F = S p avec S 2,01 10^-2\ m^2, donc p 6,0 10^5\ Pa, soit environ 5,97\ bar. • Effort et vitesse vers puissance : P_utile = F v = 12\,000 0,020 = 240\ W. • Puissance vers puissance absorbée : P_abs = 240 / 0,85 282\ W. • Puissance vers énergie : E = 282 6 1,69\ kJ par cycle. • Enfin le contrôle : 5,97 10^5 2,01 10^-2 12\,000\ N redonne l'effort demandé, et 282 - 240 = 42\ W de pertes représentent bien 15\ \% de la puissance absorbée. 4. Les cinq pièges du chapitre, en un coup d'œil • Additionner les rendements : ils se multiplient, et le résultat d'une chaîne reste inférieur au plus petit d'entre eux. • Inverser le rapport de réduction : un réducteur réduit la vitesse, donc le couple moteur est plus petit que le couple d'arbre. • Prolonger un modèle linéaire hors de son domaine de validité : la saturation donne une butée, pas une droite. • Comparer une mesure à un nominal au lieu de comparer l'écart à la tolérance. • Confondre l'unité de la grandeur dérivée : pascal et bar, newton et newton-mètre, watt et kilowattheure.

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