Évolution réciproque et coefficient multiplicateur inverse

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• L'évolution réciproque est l'évolution qui permet de ramener une grandeur de sa valeur finale V_F à sa valeur initiale de départ V_I. • Soit CM le coefficient multiplicateur de l'évolution directe (V_F = V_I CM). • Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque, noté CM_réc, est l'inverse mathématique de CM : CM_réc = 1/CM = 1/1 + t • Le taux d'évolution réciproque t_réc est donné par : t_réc = CM_réc - 1 = 1/CM - 1 = 1/1 + t - 1 • Propriétés remarquables : - Après une hausse (CM > 1), l'évolution réciproque est une baisse (CM_réc 1). - Le taux réciproque n'a JAMAIS la même valeur absolue que le taux direct : * L'évolution réciproque d'une hausse de +25\,\% (CM = 1,25) est une baisse de -20\,\% car 1 / 1,25 = 0,80. * L'évolution réciproque d'une baisse de -50\,\% (CM = 0,50) est une hausse de +100\,\% car 1 / 0,50 = 2,00.

Le cours

Évolution réciproque et coefficient multiplicateur inverse • L'évolution réciproque est l'évolution qui permet de ramener une grandeur de sa valeur finale V_F à sa valeur initiale de départ V_I. • Soit CM le coefficient multiplicateur de l'évolution directe (V_F = V_I CM). • Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque, noté CM_réc, est l'inverse mathématique de CM : CM_réc = 1/CM = 1/1 + t • Le taux d'évolution réciproque t_réc est donné par : t_réc = CM_réc - 1 = 1/CM - 1 = 1/1 + t - 1 • Propriétés remarquables : - Après une hausse (CM > 1), l'évolution réciproque est une baisse (CM_réc 1). - Le taux réciproque n'a JAMAIS la même valeur absolue que le taux direct : * L'évolution réciproque d'une hausse de +25\,\% (CM = 1,25) est une baisse de -20\,\% car 1 / 1,25 = 0,80. * L'évolution réciproque d'une baisse de -50\,\% (CM = 0,50) est une hausse de +100\,\% car 1 / 0,50 = 2,00. Astuce et méthode clé Retiens l'exemple pivot : si ton capital diminue de moitié (-50\,\%, CM = 0,5), il faut ensuite le doubler (+100\,\%, CM_réc = 2) pour retrouver ta mise de départ ! Piège classique à éviter L'évolution réciproque d'une hausse de +10\,\% n'est PAS une baisse de -10\,\%, mais une baisse de -9,09\,\% (1/1,10 0,9091).

Dans ce chapitre

• Fractions, pourcentages et proportions simples de Collège
• Équations du premier degré et résolution de Seconde
• Lectures graphiques et tableaux de proportionnalité de Collège
• Proportion d'une sous-population et relation p = n_A / n_E
• Proportions échelonnées et intersection de populations
• Variation absolue et variation relative (taux d'évolution)
• Coefficient multiplicateur associé à une hausse ou une baisse
• Calcul de la valeur finale connaissant la valeur initiale et le taux
• Calcul de la valeur initiale connaissant la valeur finale et le taux
• Évolutions successives et produit des coefficients multiplicateurs
• Évolution réciproque et coefficient multiplicateur inverse
• Taux d'évolution moyen et racine n-ième
• Indices de base 100 et comparaison de grandeurs économiques ou physiques
• Bilan : Synthèse et méthode sur Automatismes, calculs de proportions et évolutions