Taux d'évolution moyen et racine n-ième

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Lorsqu'une grandeur subit une évolution globale caractérisée par un coefficient multiplicateur CM_global sur une durée de n périodes identiques (années, mois, jours) : • Le coefficient multiplicateur moyen par période, noté CM_m, est le coefficient constant qui, appliqué n fois de suite, produit exactement la même évolution globale : (CM_m)^n = CM_global CM_m = (CM_global)^1/n = [n]CM_global • Le taux d'évolution moyen t_m par période s'obtient alors par : t_m = CM_m - 1 t_m\,\% = (CM_m - 1) 100\,\% • Règle essentielle : le taux moyen t_m ne s'obtient pas en divisant le taux global par n (dès que n 2 et T_global 0, t_m T_globaln) et, en général, il diffère aussi de la moyenne arithmétique des taux de chaque période (ex. : +50\,\% puis -50\,\% donnent CM_global = 0,75, donc t_m -13,4\,\% et non 0\,\%). C'est la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs, calculée à la calculatrice avec la puissance 1/n.

Le cours

Taux d'évolution moyen et racine n-ième • Lorsqu'une grandeur subit une évolution globale caractérisée par un coefficient multiplicateur CM_global sur une durée de n périodes identiques (années, mois, jours) : • Le coefficient multiplicateur moyen par période, noté CM_m, est le coefficient constant qui, appliqué n fois de suite, produit exactement la même évolution globale : (CM_m)^n = CM_global CM_m = (CM_global)^1/n = [n]CM_global • Le taux d'évolution moyen t_m par période s'obtient alors par : t_m = CM_m - 1 t_m\,\% = (CM_m - 1) 100\,\% • Règle essentielle : le taux moyen t_m ne s'obtient pas en divisant le taux global par n (dès que n 2 et T_global 0, t_m T_globaln) et, en général, il diffère aussi de la moyenne arithmétique des taux de chaque période (ex. : +50\,\% puis -50\,\% donnent CM_global = 0,75, donc t_m -13,4\,\% et non 0\,\%). C'est la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs, calculée à la calculatrice avec la puissance 1/n. Astuce et méthode clé Sur la calculatrice, utilise la touche puissance : CM_m = CM_global^(1/n) en mettant impérativement la fraction entre parenthèses. Piège classique à éviter Si une quantité double en 10 ans (CM_global = 2), le taux moyen annuel n'est PAS de 100 / 10 = 10\,\%, mais de 2^1/10 - 1 7,18\,\% !

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