Effets d'une transformation affine (y = ax + b) sur la moyenne et l'écart-type

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Soit une série statistique (x_1, , x_N) de moyenne x et d'écart-type _x. • Si chaque valeur subit la transformation affine y_i = a x_i + b (où a et b sont deux réels constants) : - La nouvelle moyenne est transformée à l'identique : y = a x + b - La nouvelle variance est multipliée par a^2 (l'ajout de b ne change pas la dispersion) : V_y = a^2 V_x - Le nouvel écart-type est multiplié par la valeur absolue |a| : _y = |a| \, _x • Cas particuliers : - Translation (a = 1) : y_i = x_i + b y = x + b et _y = _x (la dispersion reste inchangée). - Changement d'échelle (b = 0) : y_i = a x_i y = a x et _y = |a| _x.

Le cours

Effets d'une transformation affine (y = ax + b) sur la moyenne et l'écart-type • Soit une série statistique (x_1, , x_N) de moyenne x et d'écart-type _x. • Si chaque valeur subit la transformation affine y_i = a x_i + b (où a et b sont deux réels constants) : - La nouvelle moyenne est transformée à l'identique : y = a x + b - La nouvelle variance est multipliée par a^2 (l'ajout de b ne change pas la dispersion) : V_y = a^2 V_x - Le nouvel écart-type est multiplié par la valeur absolue |a| : _y = |a| \, _x • Cas particuliers : - Translation (a = 1) : y_i = x_i + b y = x + b et _y = _x (la dispersion reste inchangée). - Changement d'échelle (b = 0) : y_i = a x_i y = a x et _y = |a| _x. Astuce et méthode clé Retiens : ajouter une constante b décale toutes les valeurs de la même quantité, ce qui décale la moyenne mais ne modifie absolument pas l'écart-type. Piège classique à éviter Attention au signe : l'écart-type est toujours positif ! Si a = -2, alors _y = |-2| _x = +2 _x, et non pas -2 _x.

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