Ajustement affine intuitif et droite de régression

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Lorsque le nuage de points d'une série statistique bivariée présente une forme allongée, on peut modéliser la relation entre les deux variables par une relation affine : y = a x + b Cette droite est appelée droite d'ajustement affine (ou droite de régression de y en x). • Propriété fondamentale : la droite d'ajustement des moindres carrés passe toujours par le point moyen G(x \,;\, y), ce qui impose la relation : y = a x + b b = y - a x • Usages de l'ajustement affine en sciences : - Interpolation : estimer la valeur de y pour une valeur de x située à l'intérieur de la plage de mesures. - Extrapolation : prédire la valeur de y pour une valeur de x en dehors de la plage observée (avec prudence, en supposant le modèle toujours valide).

Le cours

Ajustement affine intuitif et droite de régression • Lorsque le nuage de points d'une série statistique bivariée présente une forme allongée, on peut modéliser la relation entre les deux variables par une relation affine : y = a x + b Cette droite est appelée droite d'ajustement affine (ou droite de régression de y en x). • Propriété fondamentale : la droite d'ajustement des moindres carrés passe toujours par le point moyen G(x \,;\, y), ce qui impose la relation : y = a x + b b = y - a x • Usages de l'ajustement affine en sciences : - Interpolation : estimer la valeur de y pour une valeur de x située à l'intérieur de la plage de mesures. - Extrapolation : prédire la valeur de y pour une valeur de x en dehors de la plage observée (avec prudence, en supposant le modèle toujours valide). Astuce et méthode clé Pour trouver l'équation d'une droite d'ajustement passant par G et par un second point A(x_A, y_A), calcule d'abord la pente a = y_A - yx_A - x, puis déduis b = y - a x. Piège classique à éviter L'extrapolation au-delà du domaine mesuré est très risquée : une tendance linéaire locale peut saturer, s'inverser ou devenir non linéaire à plus grande échelle.

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