Notion de suite numérique et modes de génération (explicite et récurrence)

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Une suite numérique u est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels N (ou une partie de N) qui à tout entier n associe un nombre réel noté u(n) ou plus couramment u_n. • Le nombre u_n est appelé le terme d'indice (ou de rang) n. L'entier n indique le numéro d'étape ou le pas de temps. • Il existe deux modes fondamentaux de définition d'une suite : 1. Définition explicite : le terme u_n est exprimé directement en fonction de n : u_n = f(n). Tout terme se calcule directement sans connaître les termes précédents. 2. Définition par récurrence : la suite est définie par la donnée de son premier terme (ex. u_0) et d'une relation permettant de calculer chaque terme à partir du terme précédent : u_n+1 = g(u_n). Pour calculer u_10, il faut calculer successivement tous les termes intermédiaires.

Le cours

Notion de suite numérique et modes de génération (explicite et récurrence) • Une suite numérique u est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels N (ou une partie de N) qui à tout entier n associe un nombre réel noté u(n) ou plus couramment u_n. • Le nombre u_n est appelé le terme d'indice (ou de rang) n. L'entier n indique le numéro d'étape ou le pas de temps. • Il existe deux modes fondamentaux de définition d'une suite : 1. Définition explicite : le terme u_n est exprimé directement en fonction de n : u_n = f(n). Tout terme se calcule directement sans connaître les termes précédents. 2. Définition par récurrence : la suite est définie par la donnée de son premier terme (ex. u_0) et d'une relation permettant de calculer chaque terme à partir du terme précédent : u_n+1 = g(u_n). Pour calculer u_10, il faut calculer successivement tous les termes intermédiaires. Astuce et méthode clé Pense à la distinction concrète : la formule explicite donne un accès direct (comme un ascenseur qui va directement au 10e étage), alors que la récurrence oblige à gravir les marches une par une. Piège classique à éviter Ne confonds pas u_n+1 (le terme suivant) avec u_n + 1 (le terme courant auquel on ajoute 1).

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