Suites géométriques : définition, raison et formule explicite u_n = u_0 q^n

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Une suite (u_n) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel non nul q, appelé raison de la suite, tel que chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par q : u_n+1 = q u_n pour tout n N • Pour démontrer qu'une suite à termes non nuls est géométrique, on montre que le quotient u_n+1u_n est constant et égal à q. • Formule explicite du terme général : - Si le premier terme est u_0 : u_n = u_0 q^n - Si le premier terme est u_1 : u_n = u_1 q^n-1 - Plus généralement : u_n = u_p q^n-p. • Comportement pour u_0 > 0 et q > 0 : - Si q > 1, la suite est strictement croissante et tend très rapidement vers +. - Si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante et tend vers 0. - Si q = 1, la suite est constante.

Le cours

Suites géométriques : définition, raison et formule explicite u_n = u_0 q^n • Une suite (u_n) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel non nul q, appelé raison de la suite, tel que chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par q : u_n+1 = q u_n pour tout n N • Pour démontrer qu'une suite à termes non nuls est géométrique, on montre que le quotient u_n+1u_n est constant et égal à q. • Formule explicite du terme général : - Si le premier terme est u_0 : u_n = u_0 q^n - Si le premier terme est u_1 : u_n = u_1 q^n-1 - Plus généralement : u_n = u_p q^n-p. • Comportement pour u_0 > 0 et q > 0 : - Si q > 1, la suite est strictement croissante et tend très rapidement vers +. - Si 0 Astuce et méthode clé Pour passer de u_0 à u_n, on a multiplié n fois par q. D'où l'élévation à la puissance n : u_n = u_0 q^n. Piège classique à éviter Ne confonds pas la raison d'une suite géométrique (facteur multiplicatif q) avec la raison d'une suite arithmétique (terme additif r).

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