Comparaison de la croissance linéaire et de la croissance exponentielle

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Comparaison mathématique fondamentale : - Croissance linéaire : u_n = u_0 + n r. Pente constante, accroissement absolu constant u = r. - Croissance exponentielle : v_n = v_0 q^n avec q > 1. Pente croissante, accroissement relatif constant v/v = q - 1. • Théorème de comparaison asymptotique : - Quelle que soit la raison r > 0 aussi grande soit-elle d'une suite arithmétique, et quel que soit le taux q > 1 aussi proche de 1 soit-il d'une suite géométrique, il existe TOUJOURS un rang N à partir duquel la croissance exponentielle dépasse définitivement la croissance linéaire : _n + q^n/n = + (q > 1) • À court terme, la croissance linéaire peut paraître plus vigoureuse, mais à moyen et long terme, l'exponentielle surclasse inévitablement le linéaire.

Le cours

Comparaison de la croissance linéaire et de la croissance exponentielle • Comparaison mathématique fondamentale : - Croissance linéaire : u_n = u_0 + n r. Pente constante, accroissement absolu constant u = r. - Croissance exponentielle : v_n = v_0 q^n avec q > 1. Pente croissante, accroissement relatif constant v/v = q - 1. • Théorème de comparaison asymptotique : - Quelle que soit la raison r > 0 aussi grande soit-elle d'une suite arithmétique, et quel que soit le taux q > 1 aussi proche de 1 soit-il d'une suite géométrique, il existe TOUJOURS un rang N à partir duquel la croissance exponentielle dépasse définitivement la croissance linéaire : _n + q^n/n = + (q > 1) • À court terme, la croissance linéaire peut paraître plus vigoureuse, mais à moyen et long terme, l'exponentielle surclasse inévitablement le linéaire. Astuce et méthode clé Pour trouver le rang à partir duquel l'exponentielle dépasse la croissance linéaire, dresse un tableau de valeurs (à la calculatrice ou au tableur) et repère le premier rang où v_n > u_n : au-delà, l'écart ne fait que grandir. Piège classique à éviter Attention à l'illusion du court terme : sous-estimer une croissance exponentielle faible (comme +2\,\% par an) est l'une des erreurs d'appréciation humaine les plus courantes.

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