Temps de doublement et demi-vie dans un modèle exponentiel

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Le temps de doublement T_2 est la durée nécessaire pour qu'une grandeur en croissance exponentielle voie sa valeur multipliée par 2 : y(t + T_2) = 2 y(t) q^T_2 = 2 • Propriété fondamentale : Dans un modèle exponentiel, le temps de doublement est invariant dans le temps, quel que soit le niveau déjà atteint par la grandeur. • Règle approchée des 70 : Si le taux de croissance annuel est de t\,\%, alors : T_2 70/t (par exemple, pour t = 7\,\%, T_2 70/7 = 10 ans). • La demi-vie T_1/2 (ou période radioactive) est le pendant décroissant : c'est la durée au bout de laquelle la quantité de noyaux radioactifs d'un échantillon est divisée par 2 : N(t + T_1/2) = 1/2 N(t) N(n T_1/2) = N_0 (1/2)^n

Le cours

Temps de doublement et demi-vie dans un modèle exponentiel • Le temps de doublement T_2 est la durée nécessaire pour qu'une grandeur en croissance exponentielle voie sa valeur multipliée par 2 : y(t + T_2) = 2 y(t) q^T_2 = 2 • Propriété fondamentale : Dans un modèle exponentiel, le temps de doublement est invariant dans le temps, quel que soit le niveau déjà atteint par la grandeur. • Règle approchée des 70 : Si le taux de croissance annuel est de t\,\%, alors : T_2 70/t (par exemple, pour t = 7\,\%, T_2 70/7 = 10 ans). • La demi-vie T_1/2 (ou période radioactive) est le pendant décroissant : c'est la durée au bout de laquelle la quantité de noyaux radioactifs d'un échantillon est divisée par 2 : N(t + T_1/2) = 1/2 N(t) N(n T_1/2) = N_0 (1/2)^n Astuce et méthode clé Retiens que chaque intervalle d'une demi-vie divise la quantité restante par 2 : après 1 T_1/2 il reste 50\,\%, après 2 T_1/2 il reste 25\,\%, après 3 T_1/2 il reste 12,5\,\%, après 4 T_1/2 il reste 6,25\,\%. Piège classique à éviter La demi-vie ne signifie pas que tout l'échantillon a disparu au bout de 2 T_1/2 ! Au bout de deux demi-vies, il reste 1/4 de la substance, pas zéro.

Dans ce chapitre

• Fonctions affines et droites du plan de Seconde
• Puissances d'un nombre et notation scientifique de Collège
• Résolution d'inéquations du premier degré de Seconde
• Notion de suite numérique et modes de génération (explicite et récurrence)
• Suites arithmétiques : définition, raison et formule explicite u_n = u_0 + n r
• Somme des termes d'une suite arithmétique en tronc commun
• Croissance linéaire et modélisation à pas constant
• Suites géométriques : définition, raison et formule explicite u_n = u_0 q^n
• Somme des termes d'une suite géométrique en tronc commun
• Croissance exponentielle et modélisation à taux constant
• Temps de doublement et demi-vie dans un modèle exponentiel
• Comparaison de la croissance linéaire et de la croissance exponentielle
• Limites de validité d'un modèle exponentiel dans un monde fini
• Bilan : Synthèse et méthode sur Croissances linéaire et exponentielle