Croissance exponentielle et modélisation à taux constant

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Une grandeur présente une croissance exponentielle lorsque sa variation relative (son taux d'évolution en pourcentage t\,\%) est constante à chaque intervalle de temps régulier : y(n+1) = (1 + ) \, y(n) avec = t/100 Le coefficient multiplicateur q = 1 + est constant. • Expression du terme général : y(n) = y_0 (1 + )^n = y_0 q^n • Caractéristique fondamentale : - Dans une croissance exponentielle, la vitesse de croissance (la dérivée ou l'accroissement absolu y(n+1) - y(n) = \, y(n)) est proportionnelle à la taille actuelle de la grandeur. Plus la grandeur est grande, plus elle grandit vite ! - Cette dynamique engendre une explosion rapide (« effet boule de neige »). • Exemples scientifiques : division cellulaire non freinée, transmission épidémique initiale (R0), réactions en chaîne nucléaires.

Le cours

Croissance exponentielle et modélisation à taux constant • Une grandeur présente une croissance exponentielle lorsque sa variation relative (son taux d'évolution en pourcentage t\,\%) est constante à chaque intervalle de temps régulier : y(n+1) = (1 + ) \, y(n) avec = t/100 Le coefficient multiplicateur q = 1 + est constant. • Expression du terme général : y(n) = y_0 (1 + )^n = y_0 q^n • Caractéristique fondamentale : - Dans une croissance exponentielle, la vitesse de croissance (la dérivée ou l'accroissement absolu y(n+1) - y(n) = \, y(n)) est proportionnelle à la taille actuelle de la grandeur. Plus la grandeur est grande, plus elle grandit vite ! - Cette dynamique engendre une explosion rapide (« effet boule de neige »). • Exemples scientifiques : division cellulaire non freinée, transmission épidémique initiale (R0), réactions en chaîne nucléaires. Astuce et méthode clé Associe toujours : taux d'évolution constant coefficient multiplicateur fixe q = 1 + modèle exponentiel y(n) = y_0 q^n. Piège classique à éviter Une augmentation de 5\,\% par an pendant 10 ans NE correspond PAS à une augmentation totale de 50\,\% ! L'effet composé donne (1,05)^10 1,629, soit +62,9\,\%.

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