Somme des termes d'une suite géométrique en tronc commun

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Pour tout nombre réel q 1 et tout entier naturel n, la somme des puissances successives de q s'écrit : 1 + q + q^2 + + q^n = _k=0^n q^k = 1 - q^n+11 - q • Pour toute suite géométrique (u_n) de raison q 1, la somme de termes consécutifs est donnée par : S = premier terme 1 - q^nombre de termes1 - q • En particulier, la somme des termes de u_0 à u_n (qui compte n+1 termes) est : S_n = u_0 + u_1 + + u_n = u_0 1 - q^n+11 - q • Cas où 0 < q < 1 : quand n devient très grand, q^n+1 tend vers 0, et la somme cumulée plafonne vers une valeur limite finie u_0/1 - q.

Le cours

Somme des termes d'une suite géométrique en tronc commun • Pour tout nombre réel q 1 et tout entier naturel n, la somme des puissances successives de q s'écrit : 1 + q + q^2 + + q^n = _k=0^n q^k = 1 - q^n+11 - q • Pour toute suite géométrique (u_n) de raison q 1, la somme de termes consécutifs est donnée par : S = premier terme 1 - q^nombre de termes1 - q • En particulier, la somme des termes de u_0 à u_n (qui compte n+1 termes) est : S_n = u_0 + u_1 + + u_n = u_0 1 - q^n+11 - q • Cas où 0 Méthode en trois questions Pour S = 3 + 6 + 12 + + 384 : le premier terme vaut 3, la raison vaut q = 2, et 384 = 3 2^7, donc la somme compte 8 termes (exposants de 0 à 7). S = 3 1 - 2^8/1 - 2 = 3 255 = 765 Astuce et méthode clé Vérifie bien l'exposant dans la formule : c'est toujours le nombre total de termes sommés (n+1 si l'on part de 0). Piège classique à éviter Si q = 1, la formule avec quotient n'est pas définie (division par 0) : la somme vaut simplement (n+1) u_0.

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