Bilan : Synthèse et méthode sur Croissances linéaire et exponentielle

Première générale Spé · Enseignement Scientifique 1ère

À retenir

• Tableau comparatif synthétique : - Croissance linéaire (arithmétique) : u_n = u_0 + n r. Accroissement absolu constant u = r. Modélise des flux constants, des débits réguliers, des mouvements uniformes. Somme : S_n = (n+1) u_0 + u_n/2. - Croissance exponentielle (géométrique) : v_n = v_0 q^n = v_0 (1 + )^n. Accroissement relatif constant v/v = . Modélise des reproductions biologiques, des transmissions d'information, des réactions en chaîne. Somme : S_n = v_0 1 - q^n+11 - q. • Temps caractéristiques exponentiels : - Doublement : T_2 70/t\,\%. - Demi-vie : division par 2 à chaque période T_1/2. • Méthode de diagnostic face à un jeu de données réelles (t_i, y_i) : 1. Calculer les différences successives y_i+1 - y_i. Si elles sont sensiblement constantes modèle linéaire. 2. Calculer les quotients successifs y_i+1y_i. S'ils sont sensiblement constants modèle exponentiel. 3. Identifier les contraintes environnementales et les limites physiques du modèle.

Le cours

Bilan : Synthèse et méthode sur Croissances linéaire et exponentielle • Tableau comparatif synthétique : - Croissance linéaire (arithmétique) : u_n = u_0 + n r. Accroissement absolu constant u = r. Modélise des flux constants, des débits réguliers, des mouvements uniformes. Somme : S_n = (n+1) u_0 + u_n/2. - Croissance exponentielle (géométrique) : v_n = v_0 q^n = v_0 (1 + )^n. Accroissement relatif constant v/v = . Modélise des reproductions biologiques, des transmissions d'information, des réactions en chaîne. Somme : S_n = v_0 1 - q^n+11 - q. • Temps caractéristiques exponentiels : - Doublement : T_2 70/t\,\%. - Demi-vie : division par 2 à chaque période T_1/2. • Méthode de diagnostic face à un jeu de données réelles (t_i, y_i) : 1. Calculer les différences successives y_i+1 - y_i. Si elles sont sensiblement constantes modèle linéaire. 2. Calculer les quotients successifs y_i+1y_i. S'ils sont sensiblement constants modèle exponentiel. 3. Identifier les contraintes environnementales et les limites physiques du modèle. Astuce et méthode clé Dans une épreuve, teste toujours en premier lieu les différences y_i+1 - y_i, puis les quotients y_i+1y_i pour justifier rigoureusement le choix du modèle. Piège classique à éviter Ne confonds pas la croissance exponentielle avec une simple croissance rapide : une fonction puissance comme f(t) = t^3 croît vite mais n'est pas une exponentielle !

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