Distributivité et calcul réfléchi : multiplier par 9, 11, 99 ou 101

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Multiplier une somme : k (a + b) = k a + k b. • Multiplier une différence : k (a - b) = k a - k b. • 9 : 10, puis on retire le nombre ; 11 : 10, puis on ajoute le nombre. • 99 : 100, puis on retire le nombre ; 101 : 100, puis on ajoute le nombre.

Le cours

1. Multiplier une somme ou une différence Pour multiplier un nombre par une somme, on peut multiplier ce nombre par chacun des termes, puis additionner les résultats. Par exemple, 13 = 10 + 3, donc : 7 13 = 7 10 + 7 3 = 70 + 21 = 91 Cette propriété s'appelle la distributivité de la multiplication. Elle fonctionne aussi avec une différence : 19 = 20 - 1, donc 6 19 = 6 20 - 6 1 = 120 - 6 = 114. k (a + b) = k a + k b k (a - b) = k a - k b Elle reste vraie avec des nombres décimaux : 3,2 15 = 3,2 10 + 3,2 5 = 32 + 16 = 48. 2. Quatre multiplications réflexes • 9 : 9 = 10 - 1, on multiplie par 10 et on retire le nombre. 46 9 = 460 - 46 = 414. • 11 : 11 = 10 + 1, on multiplie par 10 et on ajoute le nombre. 46 11 = 460 + 46 = 506. • 99 : 99 = 100 - 1. 46 99 = 4\,600 - 46 = 4\,554. • 101 : 101 = 100 + 1. 46 101 = 4\,600 + 46 = 4\,646. Avec un nombre décimal, la méthode est la même : 2,4 99 = 240 - 2,4 = 237,6. 3. Dans l'autre sens : regrouper Quand un même nombre est multiplié par deux facteurs différents, on peut le mettre en commun : 8,7 6 + 8,7 4 = 8,7 10 = 87 Ce regroupement est intéressant quand la somme des deux autres facteurs vaut 10, 100 ou 1\,000 : ici 6 + 4 = 10. 4. Attention Il faut multiplier chaque terme : 7 102 ne vaut pas 7 100 + 2 = 702, mais 7 100 + 7 2 = 700 + 14 = 714.

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