Construire la bissectrice d'un angle à la règle et au compas

6ème · Mathématiques 6ème

À retenir

• Étape 1 : un arc de centre O coupe les côtés en A et B, avec OA = OB. • Étape 2 : deux arcs de même rayon, de centres A et B, se coupent en P. • Étape 3 : la demi-droite [OP) est la bissectrice de l'angle. • O et P sont sur la médiatrice de [AB], qui est l'axe de symétrie de l'angle.

Le cours

1. Une construction sans mesure Le rapporteur donne une bissectrice approchée, au degré près. Avec la règle et le compas, on la construit sans rien mesurer, donc plus précisément : on cherche deux points situés sur la bissectrice, le sommet O et un point P. O A B P x y Arc de centre O (en gris), arcs de même rayon de centres A et B (en orange), bissectrice [OP) (en vert). 2. Méthode en trois étapes 1. Pointe du compas en O : tracer un arc qui coupe [Ox) en A et [Oy) en B. Ainsi OA = OB. 2. Choisir un écartement plus grand que la moitié de AB et ne plus le modifier. Pointe en A, puis pointe en B : tracer deux arcs, du côté opposé au sommet, qui se coupent en P. 3. Tracer à la règle la demi-droite [OP) : c'est la bissectrice de xOy. 3. Pourquoi ça marche On a OA = OB (étape 1) et PA = PB (étape 2) : les points O et P sont chacun à égale distance de A et de B. Ils sont donc sur la médiatrice du segment [AB]. Cette médiatrice est un axe de symétrie qui échange A et B, donc les côtés [OA) et [OB). Les angles xOP et POy sont symétriques : ils ont la même mesure, et [OP) est bien la bissectrice. 4. Attention Garde le même écartement pour les deux arcs de l'étape 2, et laisse les traits de construction visibles : ils justifient la figure. Si les deux arcs ne se coupent pas, l'écartement est trop petit : recommence avec un écartement plus grand.

Dans ce chapitre