Calcul réfléchi : commutativité et associativité de l'addition et de la multiplication — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• L'addition et la multiplication sont commutatives (a b = b a) et associatives. • On repère les facteurs complémentaires : 4 25 = 100, 2 50 = 100, 8 125 = 1\,000. • La soustraction et la division ne permettent aucun changement d'ordre.

Le cours

1. Propriétés de commutativité et d'associativité Dans une expression ne comportant que des additions ou que des multiplications, deux propriétés fondamentales permettent de simplifier les calculs mentaux : Commutativité : on peut modifier l'ordre des termes ou des facteurs sans changer le résultat : a + b = b + a et a b = b a Associativité : on peut regrouper les termes ou les facteurs comme on veut : (a + b) + c = a + (b + c) et (a b) c = a (b c) 2. Produits remarquables et calcul astucieux Pour calculer rapidement un produit de plusieurs facteurs, on recherche en priorité les associations de nombres qui donnent des résultats « ronds » (10, 100 ou 1\,000) : • 2 5 = 10 • 4 25 = 100 et 2,5 4 = 10 • 8 125 = 1\,000 et 12,5 8 = 100 • 50 2 = 100 et 20 5 = 100 3. Erreur fréquente : soustraction et division non commutatives Attention : la soustraction et la division ne sont ni commutatives ni associatives. On ne peut jamais inverser l'ordre des nombres dans une soustraction (8 - 3 3 - 8) ni dans une division (20 4 4 20). Ces réorganisations ne s'appliquent qu'aux additions et aux multiplications pures.

Dans ce chapitre

• Priorités opératoires et calculs avec parenthèses de 6ème
• Les 4 opérations sur les décimaux de 6ème
• Multiplier et diviser un nombre décimal par 10, 100, 1 000 ou par 0,1 et 0,01 de 6ème
• Priorités de la multiplication et division sans parenthèses
• Calculs avec parenthèses et crochets
• Écriture fractionnaire comme parenthèse sous-entendue
• Traduire une phrase par un calcul et inversement (somme, produit, quotient, différence)
• Modélisation et résolution de problèmes en une seule expression
• Diviser par un nombre décimal : se ramener à un diviseur entier — 5ème
• Carré et cube d'un nombre : notations a² et a³ — 5ème
• Carrés parfaits jusqu'à 12² et calculs avec carrés et cubes — 5ème
• Calcul réfléchi : commutativité et associativité de l'addition et de la multiplication — 5ème
• Arbre de calcul : structure d'une expression et priorités opératoires — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les priorités opératoires