Médiatrice d'un segment : tracé au compas et propriété d'équidistance de 6ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. • Propriété caractéristique : un point appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB. • Construction au compas : tracer deux arcs de même rayon centré en A, puis deux arcs centré en B. • La médiatrice est l'axe de symétrie du segment et engendre des triangles isocèles.

Le cours

1. Définition géométrique de la médiatrice La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Elle constitue l'axe de symétrie du segment [AB]. Deux conditions indispensables : 1. Perpendicularité : la médiatrice forme un angle droit (90^) avec la droite (AB). 2. Milieu : elle coupe [AB] en son milieu exact I, tel que IA = IB. 2. Propriété fondamentale d'équidistance La médiatrice possède une propriété caractéristique essentielle liant les points et les distances : • Propriété directe : si un point M appartient à la médiatrice de [AB], alors il est équidistant des extrémités A et B (MA = MB). • Propriété réciproque : si un point M vérifie MA = MB, alors il appartient obligatoirement à la médiatrice de [AB]. Cette équidistance implique que pour tout point M de la médiatrice non situé sur [AB], le triangle MAB est un triangle isocèle de sommet principal M. 3. Protocole de construction au compas Pour tracer la médiatrice sans équerre ni règle graduée : on choisit un écartement de compas strictement supérieur à la moitié de AB. On trace un arc de cercle de centre A de part et d'autre de [AB], puis deux arcs de même rayon centrés en B. Les deux points d'intersection obtenus sont équidistants de A et de B : la droite qui les relie est la médiatrice.

Dans ce chapitre

• Triangles particuliers et mesure au rapporteur de 6ème
• Médiatrice d'un segment : tracé au compas et propriété d'équidistance de 6ème
• Droites perpendiculaires : tracé à l'équerre et distance d'un point à une droite de 6ème
• Inégalité triangulaire et condition d'existence d'un triangle
• Construction de triangles à la règle, au compas et au rapporteur
• Somme des angles d'un triangle : la somme vaut 180°
• Somme des angles dans les triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral)
• Droites remarquables du triangle : hauteurs (orthocentre) et médiatrices (cercle circonscrit)
• Médianes d'un triangle : tracé et partage en deux triangles de même aire — 5ème
• Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° avec les angles alternes-internes — 5ème
• Programme de construction d'un triangle : description pas à pas et tracé géométrique — 5ème
• Construire un triangle et ses droites remarquables avec un logiciel de géométrie dynamique — 5ème
• Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire et alignement de trois points — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les triangles, l'inégalité triangulaire et les angles