Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire et alignement de trois points — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Inégalité triangulaire générale : pour tous points A, B, C, on a AC AB + BC. • Triangle constructible non aplati : la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres. • Cas d'égalité : AC = AB + BC si et seulement si le point B appartient au segment [AC] (A, B, C alignés). • Si la plus grande longueur est strictement supérieure à la somme des deux autres, la figure est impossible.

Le cours

1. L'inégalité triangulaire : règle générale Pour trois points quelconques A, B et C du plan, la distance directe entre A et C est toujours inférieure ou égale à la distance en passant par une étape intermédiaire B : Pour tous points A, B, C : AC AB + BC Si l'inégalité stricte est vérifiée (AC triangle non aplati (constructible et avec une aire non nulle). 2. Le cas d'égalité : alignement et triangle aplati Le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire caractérise une situation géométrique fondamentale : Théorème fondamental : L'égalité AC = AB + BC est vraie si et seulement si le point B appartient au segment [AC] (B [AC]). Lorsque AC = AB + BC, les trois points A, B et C sont alignés dans cet ordre (B est situé entre A et C). On dit parfois que la figure forme un « triangle aplati », mais les points sont en réalité tous situés sur une même droite. 3. Cas d'impossibilité géométrique Si la plus grande des trois longueurs est strictement supérieure à la somme des deux autres (AC > AB + BC), les cercles centrés en A et C ne se rencontrent pas : il est totalement impossible de construire le triangle ou de relier les points.

Dans ce chapitre

• Triangles particuliers et mesure au rapporteur de 6ème
• Médiatrice d'un segment : tracé au compas et propriété d'équidistance de 6ème
• Droites perpendiculaires : tracé à l'équerre et distance d'un point à une droite de 6ème
• Inégalité triangulaire et condition d'existence d'un triangle
• Construction de triangles à la règle, au compas et au rapporteur
• Somme des angles d'un triangle : la somme vaut 180°
• Somme des angles dans les triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral)
• Droites remarquables du triangle : hauteurs (orthocentre) et médiatrices (cercle circonscrit)
• Médianes d'un triangle : tracé et partage en deux triangles de même aire — 5ème
• Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° avec les angles alternes-internes — 5ème
• Programme de construction d'un triangle : description pas à pas et tracé géométrique — 5ème
• Construire un triangle et ses droites remarquables avec un logiciel de géométrie dynamique — 5ème
• Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire et alignement de trois points — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les triangles, l'inégalité triangulaire et les angles