Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° avec les angles alternes-internes — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Théorème : la somme des mesures des angles d'un triangle quelconque vaut toujours 180^. • La démonstration repose sur le tracé de la parallèle au côté opposé passant par un sommet. • Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure. • Les trois angles se recomposent en un angle plat de 180^ au sommet.

Le cours

1. Énoncé du théorème et nécessité d'une preuve Dans tout triangle ABC, la somme des mesures des trois angles vaut 180^ : A + B + C = 180^ Mesurer les angles au rapporteur permet de conjecturer cette propriété, mais ne constitue pas une démonstration mathématique (les instruments comportent toujours des incertitudes). Pour prouver que le résultat est vrai pour tous les triangles du monde, on utilise un raisonnement géométrique basé sur une droite parallèle auxiliaire. 2. Construction de la figure de démonstration Soit un triangle quelconque ABC. Par le sommet A, on trace la droite (d) parallèle à la droite (BC) du côté opposé : 1. Les droites parallèles (d) et (BC) sont coupées par la sécante (AB) : Elles forment deux angles alternes-internes de même mesure : l'angle B du triangle et un angle adjacent en A. 2. Les droites parallèles (d) et (BC) sont coupées par la sécante (AC) : Elles forment deux autres angles alternes-internes de même mesure : l'angle C du triangle et un second angle adjacent en A. 3. Conclusion par l'angle plat Au sommet A, les trois angles juxtaposés le long de la droite (d) forment un angle plat dont la mesure vaut exactement 180^. La somme de leurs mesures est donc égale à 180^, ce qui démontre de manière universelle que A + B + C = 180^.

Dans ce chapitre

• Triangles particuliers et mesure au rapporteur de 6ème
• Médiatrice d'un segment : tracé au compas et propriété d'équidistance de 6ème
• Droites perpendiculaires : tracé à l'équerre et distance d'un point à une droite de 6ème
• Inégalité triangulaire et condition d'existence d'un triangle
• Construction de triangles à la règle, au compas et au rapporteur
• Somme des angles d'un triangle : la somme vaut 180°
• Somme des angles dans les triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral)
• Droites remarquables du triangle : hauteurs (orthocentre) et médiatrices (cercle circonscrit)
• Médianes d'un triangle : tracé et partage en deux triangles de même aire — 5ème
• Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° avec les angles alternes-internes — 5ème
• Programme de construction d'un triangle : description pas à pas et tracé géométrique — 5ème
• Construire un triangle et ses droites remarquables avec un logiciel de géométrie dynamique — 5ème
• Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire et alignement de trois points — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les triangles, l'inégalité triangulaire et les angles