Somme des angles d'un triangle : la somme vaut 180°

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Dans tout triangle ABC : A + B + C = 180^. • Troisième angle : C = 180^ - (A + B). • Un triangle a au plus un angle droit ou obtus, donc au moins deux angles aigus. • Trois mesures sont celles d'un triangle seulement si leur somme vaut exactement 180^.

Le cours

Propriété Dans n'importe quel triangle ABC, quelles que soient sa forme et sa taille, la somme des mesures des trois angles est égale à 180^ : A + B + C = 180^ Ce qu'il faut savoir Si l'on connaît deux angles, on calcule le troisième : C = 180^ - (A + B). Trois mesures sont celles des angles d'un triangle seulement si leur somme vaut exactement 180^. Un triangle a au plus un angle droit ou obtus : deux angles droits font déjà 180^ et deux angles obtus dépassent 180^. Tout triangle a donc au moins deux angles aigus. Selon ses angles, un triangle a soit trois angles aigus, soit un angle droit (il est rectangle), soit un angle obtus. Pourquoi 180^ ? Découpe un triangle dans du papier, déchire ses trois coins et place-les côte à côte, sommets réunis : ils forment un angle plat, c'est-à-dire 180^. Cette observation se démontre en traçant la parallèle à un côté passant par le sommet opposé et en utilisant les angles alternes-internes, étudiés dans le chapitre « Angles et parallélisme ». Méthode : calculer un angle manquant Citer la propriété : « Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180^. » Écrire le calcul avec les lettres, puis avec les nombres, sans oublier les parenthèses. Additionner les trois angles pour vérifier que l'on retrouve 180^. Exemple : dans un triangle ABC où A = 50^ et B = 75^, C = 180^ - (50^ + 75^) = 180^ - 125^ = 55^ Mesurer n'est pas calculer Une mesure lue au rapporteur est approchée : sur une figure, on peut lire 61^ pour un angle qui mesure exactement 60^. Quand l'énoncé donne deux angles, on calcule le troisième avec la propriété au lieu de le mesurer.

Dans ce chapitre

• Triangles particuliers et mesure au rapporteur de 6ème
• Médiatrice d'un segment : tracé au compas et propriété d'équidistance de 6ème
• Droites perpendiculaires : tracé à l'équerre et distance d'un point à une droite de 6ème
• Inégalité triangulaire et condition d'existence d'un triangle
• Construction de triangles à la règle, au compas et au rapporteur
• Somme des angles d'un triangle : la somme vaut 180°
• Somme des angles dans les triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral)
• Droites remarquables du triangle : hauteurs (orthocentre) et médiatrices (cercle circonscrit)
• Médianes d'un triangle : tracé et partage en deux triangles de même aire — 5ème
• Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° avec les angles alternes-internes — 5ème
• Programme de construction d'un triangle : description pas à pas et tracé géométrique — 5ème
• Construire un triangle et ses droites remarquables avec un logiciel de géométrie dynamique — 5ème
• Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire et alignement de trois points — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les triangles, l'inégalité triangulaire et les angles