Médianes d'un triangle : tracé et partage en deux triangles de même aire — 5ème

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. • Une médiane partage tout triangle en deux triangles de même aire : A = base h2. • Les trois médianes sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle. • Le centre de gravité se situe aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.

Le cours

1. Définition et tracé d'une médiane Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet : Dans un triangle ABC : si A' est le milieu du segment [BC], alors la droite (AA') est la médiane issue de A. Le segment [AA'] est également appelé médiane issue de A. Tout triangle possède trois médianes, une issue de chacun de ses sommets (A, B et C). 2. Propriété géométrique : partage en deux triangles de même aire Une propriété fondamentale de la médiane concerne le découpage des surfaces : Théorème : toute médiane d'un triangle le partage en deux triangles de même aire. Démonstration : dans le triangle ABC, la médiane (AA') découpe deux triangles ABA' et ACA'. • Leurs bases respectives [BA'] et [CA'] ont la même longueur car A' est le milieu de [BC] (BA' = CA'). • Ils partagent la même hauteur issue de A, perpendiculaire à la droite (BC). A(ABA') = BA' h/2 = CA' h/2 = A(ACA') = A(ABC)2 3. Point de concours des médianes : le centre de gravité Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point unique G, appelé le centre de gravité du triangle. Ce point G est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet : AG = 2/3 AA' et GA' = 1/3 AA'.

Dans ce chapitre

• Triangles particuliers et mesure au rapporteur de 6ème
• Médiatrice d'un segment : tracé au compas et propriété d'équidistance de 6ème
• Droites perpendiculaires : tracé à l'équerre et distance d'un point à une droite de 6ème
• Inégalité triangulaire et condition d'existence d'un triangle
• Construction de triangles à la règle, au compas et au rapporteur
• Somme des angles d'un triangle : la somme vaut 180°
• Somme des angles dans les triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral)
• Droites remarquables du triangle : hauteurs (orthocentre) et médiatrices (cercle circonscrit)
• Médianes d'un triangle : tracé et partage en deux triangles de même aire — 5ème
• Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° avec les angles alternes-internes — 5ème
• Programme de construction d'un triangle : description pas à pas et tracé géométrique — 5ème
• Construire un triangle et ses droites remarquables avec un logiciel de géométrie dynamique — 5ème
• Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire et alignement de trois points — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les triangles, l'inégalité triangulaire et les angles