Inégalité triangulaire et condition d'existence d'un triangle

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Pour trois points A, B, C : AC AB + BC, avec égalité seulement si B [AC]. • Trois longueurs forment un triangle non aplati lorsque la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres. • Plus grande = somme des deux autres : points alignés (triangle aplati) ; plus grande > somme : triangle impossible. • Deux côtés a b connus : le troisième côté x vérifie b - a < x < a + b.

Le cours

L'idée Pour aller de A à C, le chemin le plus court est le segment [AC] : un détour par un autre point B est toujours au moins aussi long. C'est l'inégalité triangulaire. Elle permet de savoir, avant de tracer quoi que ce soit, si trois longueurs données forment un triangle. Ce qu'il faut savoir Inégalité triangulaire : pour trois points A, B et C quelconques, AC AB + BC. Cas d'égalité : AC = AB + BC exactement lorsque le point B appartient au segment [AC]. Les trois points sont alignés : on parle de triangle aplati. Dans un vrai triangle, non aplati, chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres. Condition d'existence : trois longueurs forment un triangle non aplati lorsque la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres. Une seule comparaison suffit : un petit côté, déjà inférieur ou égal au plus grand, est forcément inférieur à la somme du plus grand et de l'autre côté. Méthode : trois longueurs forment-elles un triangle ? Exprimer les trois longueurs dans la même unité. Repérer la plus grande et calculer la somme des deux autres. Comparer et conclure : plus grande plus grande = somme : les points sont alignés, le triangle est aplati ; plus grande > somme : aucun triangle n'est possible. AB2 cm3 cmmanque 1 cm Avec AB = 6\ cm et des rayons de 2\ cm et 3\ cm : 2 + 3 = 5 Encadrer le troisième côté Si deux côtés mesurent a et b, avec a b, le troisième côté x vérifie b - a 3 ; donc 3\ cm Cas d'un triangle isocèle dont deux côtés mesurent 4\ cm et 10\ cm : le troisième côté ne peut pas mesurer 4\ cm, car 4 + 4 = 8 Strictement inférieur, pas « presque » Avec 3\ cm, 4\ cm et 7\ cm, on a 3 + 4 = 7 : les deux arcs tracés depuis les extrémités du côté de 7\ cm se touchent en un seul point, situé sur ce côté. On obtient trois points alignés, pas un triangle.

Dans ce chapitre

• Triangles particuliers et mesure au rapporteur de 6ème
• Médiatrice d'un segment : tracé au compas et propriété d'équidistance de 6ème
• Droites perpendiculaires : tracé à l'équerre et distance d'un point à une droite de 6ème
• Inégalité triangulaire et condition d'existence d'un triangle
• Construction de triangles à la règle, au compas et au rapporteur
• Somme des angles d'un triangle : la somme vaut 180°
• Somme des angles dans les triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral)
• Droites remarquables du triangle : hauteurs (orthocentre) et médiatrices (cercle circonscrit)
• Médianes d'un triangle : tracé et partage en deux triangles de même aire — 5ème
• Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° avec les angles alternes-internes — 5ème
• Programme de construction d'un triangle : description pas à pas et tracé géométrique — 5ème
• Construire un triangle et ses droites remarquables avec un logiciel de géométrie dynamique — 5ème
• Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire et alignement de trois points — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les triangles, l'inégalité triangulaire et les angles