Droites remarquables du triangle : hauteurs (orthocentre) et médiatrices (cercle circonscrit)

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Hauteur issue de A : droite passant par A et perpendiculaire à (BC) ; les trois hauteurs se coupent en l'orthocentre. • Médiatrice de [BC] : perpendiculaire à [BC] en son milieu ; ses points sont à égale distance de B et de C. • Les trois médiatrices se coupent en O, centre du cercle circonscrit : OA = OB = OC. • Deux médiatrices, ou deux hauteurs, suffisent pour trouver le point de concours.

Le cours

Deux familles de droites Un triangle possède trois hauteurs et trois médiatrices. Les unes comme les autres sont perpendiculaires à un côté, mais elles ne passent pas par les mêmes points : la hauteur part d'un sommet, la médiatrice passe par le milieu d'un côté. Hauteurs et orthocentre La hauteur issue de A est la droite qui passe par le sommet A et qui est perpendiculaire à la droite (BC) portant le côté opposé. Elle coupe (BC) en H, le pied de la hauteur ; la longueur AH s'appelle aussi la hauteur. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes : elles passent par un même point, l'orthocentre. Si le triangle a un angle obtus, deux de ses hauteurs sont extérieures : on prolonge les côtés pour les tracer, et l'orthocentre est hors du triangle. Dans un triangle rectangle, deux hauteurs sont les côtés de l'angle droit, et l'orthocentre est le sommet de l'angle droit. Médiatrices et cercle circonscrit La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté en son milieu. Les points de la médiatrice de [BC] sont exactement les points situés à égale distance de B et de C. Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point O. En effet, si O est sur les médiatrices de [AB] et de [BC], alors OA = OB et OB = OC, donc OA = OC : O est aussi sur la médiatrice de [AC]. Comme OA = OB = OC, le cercle de centre O qui passe par A passe aussi par B et par C : c'est le cercle circonscrit au triangle. On constate que O est à l'intérieur du triangle si ses trois angles sont aigus, à l'extérieur s'il a un angle obtus, et au milieu de l'hypoténuse s'il est rectangle (ce dernier résultat sera démontré en 4ème). ABCHI En bleu, la hauteur issue de A : elle passe par le sommet A et coupe (BC) à angle droit en H. En vert, la médiatrice de [BC] : elle coupe [BC] à angle droit en son milieu I, sans passer par A. Méthode : tracer Une hauteur : poser un côté de l'angle droit de l'équerre le long du côté opposé (prolongé si besoin), faire glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté passe par le sommet, puis tracer. Une médiatrice au compas : avec un même écartement, plus grand que la moitié du côté, tracer deux arcs depuis chaque extrémité ; la droite qui joint les deux points d'intersection est la médiatrice. Le cercle circonscrit : tracer deux médiatrices, piquer le compas en leur point d'intersection O avec l'écartement OA, puis tracer le cercle. Hauteur ou médiatrice ? En général, une hauteur ne passe pas par le milieu du côté opposé, et une médiatrice ne passe pas par le sommet opposé. Elles ne sont confondues que dans un triangle isocèle : la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base.

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