Construction de triangles à la règle, au compas et au rapporteur

5ème · Mathématiques 5ème

À retenir

• Trois longueurs : tracer un côté, puis deux arcs de cercle au compas ; le troisième sommet est à leur intersection. • Deux longueurs et l'angle compris : un côté, l'angle au rapporteur, puis la seconde longueur reportée sur la demi-droite. • Un côté et ses deux angles adjacents : un angle à chaque extrémité, du même côté ; le troisième sommet est à l'intersection des demi-droites. • Avant de tracer : inégalité triangulaire, ou somme des deux angles inférieure à 180^.

Le cours

Construire un triangle aux instruments Trois informations bien choisies suffisent pour construire un triangle. Selon les données de l'énoncé, on utilise la règle graduée, le compas ou le rapporteur. On commence toujours par un croquis à main levée sur lequel on reporte les lettres et les mesures connues. Les trois cas de construction Trois longueurs (AB, AC et BC) : tracer [AB] à la règle, puis l'arc de cercle de centre A et de rayon AC et l'arc de centre B et de rayon BC. Le point C est à l'intersection des deux arcs. Deux longueurs et l'angle compris entre elles (AB, AC et BAC) : tracer [AB], construire l'angle BAC au rapporteur en plaçant son centre en A, puis placer C sur la demi-droite obtenue en reportant la longueur AC. Une longueur et les deux angles adjacents à ce côté (AB, BAC et ABC) : tracer [AB], puis construire un angle en A et un angle en B, du même côté de [AB]. Le point C est à l'intersection des deux demi-droites. Méthode Faire un croquis à main levée codé : lettres, longueurs, angles. Vérifier que la construction est possible : inégalité triangulaire pour trois longueurs ; pour un côté et deux angles, somme des deux angles strictement inférieure à 180^. Si l'un des angles donnés n'est pas adjacent au côté connu, calculer d'abord l'angle manquant grâce à la somme des angles d'un triangle. Tracer en commençant par le côté connu (le plus long s'il y en a plusieurs), puis terminer la figure et la coder. Deux cercles, deux points d'intersection Les cercles de centres A et B se coupent en deux points, un de chaque côté de [AB]. On n'en garde qu'un : les deux triangles possibles sont symétriques par rapport à la droite (AB) et ont exactement les mêmes mesures. De même, avec le rapporteur, les deux angles doivent être tracés du même côté du segment, sinon les demi-droites ne se rencontrent pas.

Dans ce chapitre

• Triangles particuliers et mesure au rapporteur de 6ème
• Médiatrice d'un segment : tracé au compas et propriété d'équidistance de 6ème
• Droites perpendiculaires : tracé à l'équerre et distance d'un point à une droite de 6ème
• Inégalité triangulaire et condition d'existence d'un triangle
• Construction de triangles à la règle, au compas et au rapporteur
• Somme des angles d'un triangle : la somme vaut 180°
• Somme des angles dans les triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral)
• Droites remarquables du triangle : hauteurs (orthocentre) et médiatrices (cercle circonscrit)
• Médianes d'un triangle : tracé et partage en deux triangles de même aire — 5ème
• Démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° avec les angles alternes-internes — 5ème
• Programme de construction d'un triangle : description pas à pas et tracé géométrique — 5ème
• Construire un triangle et ses droites remarquables avec un logiciel de géométrie dynamique — 5ème
• Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire et alignement de trois points — 5ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur les triangles, l'inégalité triangulaire et les angles