Calcul de la hauteur et de l'apothème d'une pyramide à l'aide de Pythagore

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Dans une pyramide régulière à base carrée de côté c, le triangle SOM est rectangle en O. • On a OM = c/2 et le théorème de Pythagore donne : SM^2 = SO^2 + OM^2. • Calcul de la hauteur : SO = SM^2 - OM^2 ; calcul de l'apothème : SM = SO^2 + OM^2. • Hiérarchie des longueurs : SO < SM < SA.

Le cours

1. Triangles rectangles cachés dans la pyramide Dans une pyramide régulière de sommet S à base carrée de centre O et de côté c : La hauteur de la pyramide est le segment vertical [SO], perpendiculaire à la base en son centre O. L'apothème est le segment [SM], où M est le milieu d'un côté de la base. C'est la hauteur d'une face latérale. Le segment [OM] relie le centre au milieu du côté : sa longueur vaut la moitié du côté, soit OM = c/2. Le triangle SOM reliant le sommet, le centre et le milieu du côté est un triangle rectangle en O. 2. Application du théorème de Pythagore Dans le triangle SOM rectangle en O, l'hypoténuse est l'apothème [SM] : SM^2 = SO^2 + OM^2 Pour calculer la hauteur SO connaissant l'apothème : SO^2 = SM^2 - OM^2 SO = SM^2 - OM^2. Pour calculer l'apothème SM connaissant la hauteur : SM = SO^2 + OM^2. De même, dans le triangle SOA rectangle en O formé avec un sommet A de la base et la demi-diagonale OA : SA^2 = SO^2 + OA^2. 3. Distinction stricte des longueurs Ne confondez jamais les trois longueurs caractéristiques qui descendent du sommet : Hauteur SO < Apothème SM < Arête latérale SA. La hauteur SO est toujours la plus courte des trois car elle tombe perpendiculairement au plancher de base.

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