Description de la pyramide : sommet, base polygonale, faces latérales et hauteur

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Pyramide : une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent au sommet S. • Hauteur : segment issu de S, perpendiculaire au plan de la base. • Base à n côtés : n + 1 faces, n + 1 sommets et 2n arêtes. • Pyramide régulière : base régulière, pied de la hauteur au centre de la base, faces latérales isocèles superposables. • Tétraèdre : pyramide à base triangulaire (4 faces, 4 sommets, 6 arêtes).

Le cours

Définition et vocabulaire Une pyramide est un solide dont : une face, la base, est un polygone : triangle, quadrilatère, pentagone… ; toutes les autres faces, les faces latérales, sont des triangles qui ont un sommet commun S, le sommet de la pyramide, situé hors du plan de la base ; les arêtes latérales relient S à chacun des sommets de la base. On nomme une pyramide par son sommet suivi de sa base : SABCD est la pyramide de sommet S et de base le quadrilatère ABCD. La hauteur La hauteur est le segment issu de S et perpendiculaire au plan de la base ; son extrémité dans ce plan est le pied de la hauteur. Sa longueur s'appelle aussi la hauteur et se note souvent h. Le pied est souvent à l'intérieur de la base, mais il peut être un sommet de celle-ci : si l'arête [SA] est perpendiculaire à la base, la hauteur est [SA] elle-même. SABCDOIhhauteur [SO]apothème [SI] Deux pyramides particulières Tétraèdre : pyramide à base triangulaire. Ses 4 faces sont des triangles, il a 4 sommets et 6 arêtes, et chacune de ses faces peut servir de base. Pyramide régulière : sa base est un polygone régulier (triangle équilatéral, carré, hexagone régulier…) et le pied de la hauteur est le centre O de ce polygone. Ses arêtes latérales ont alors la même longueur et ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Dans une pyramide régulière, l'apothème est la hauteur d'une face latérale issue de S : c'est [SI], où I est le milieu d'un côté de la base. Si la base est un carré, le triangle SOI est rectangle en O et OI vaut la moitié du côté : SI^2 = SO^2 + OI^2. Compter faces, sommets et arêtes Si la base a n côtés, la pyramide a : n + 1 faces : la base et n faces latérales ; n + 1 sommets : les n sommets de la base et le sommet S ; 2n arêtes : les n côtés de la base et les n arêtes latérales. Exemple : une pyramide à base pentagonale a 6 faces, 6 sommets et 10 arêtes. En perspective cavalière, on dessine en pointillés les arêtes cachées et la hauteur, qui est à l'intérieur du solide. Attention Trois segments partent de S dans une pyramide régulière : la hauteur [SO], perpendiculaire à la base ; l'apothème [SI], tracé dans une face latérale ; l'arête latérale [SA]. Ils sont rangés dans cet ordre : SO < SI < SA. Seule la hauteur est perpendiculaire à la base.

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