Calcul du volume d'une pyramide (V = 1/3 A_base h)

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• V = 1/3 A_base h, pour toute pyramide. • Une pyramide a le tiers du volume du prisme droit de même base et de même hauteur. • h est la distance du sommet au plan de la base, jamais une arête latérale ni l'apothème. • Retrouver la hauteur : h = 3 VA_base.

Le cours

Formule Le volume d'une pyramide, régulière ou non, est le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur : V = 1/3 A_base h = A_base h3 Ici h est la hauteur de la pyramide : la distance du sommet au plan de la base. Exemple : base de 20\ cm^2 et hauteur de 9\ cm donnent V = 20 9/3 = 60\ cm^3. Pourquoi un tiers ? On peut découper un cube d'arête c en trois pyramides identiques : elles ont le même sommet (un sommet du cube) et pour bases les trois faces du cube qui ne contiennent pas ce sommet. Chacune a une base d'aire c^2, une hauteur c et un volume égal au tiers de celui du cube, c^3/3. Plus généralement, une pyramide a toujours le tiers du volume du prisme droit de même base et de même hauteur. Aire de la base Base carrée de côté c : A = c^2 ; base rectangulaire : A = L . Base triangulaire : A = côté hauteur relative2. Pour un triangle rectangle, c'est la moitié du produit des côtés de l'angle droit. La hauteur du triangle de base et la hauteur de la pyramide sont deux longueurs différentes : la première est dans le plan de la base, la seconde lui est perpendiculaire. Méthode Repérer la base et la hauteur : le segment issu du sommet, perpendiculaire à la base. Ce peut être une arête, si elle est perpendiculaire à la base. Calculer l'aire de la base, toutes les longueurs dans la même unité. Multiplier par la hauteur et diviser par 3, en simplifiant d'abord le facteur divisible par 3. Écrire l'unité de volume et convertir si besoin (1\ cm^3 = 1\ mL). Pour retrouver une hauteur à partir du volume, on inverse la formule : h = 3 VA_base. Attention Oublier le 1/3 donne le volume du prisme, trois fois trop grand ; diviser par 2 au lieu de 3 est une autre erreur fréquente. Ne remplace pas non plus la hauteur par une arête latérale ou par l'apothème, qui sont plus longues : le volume obtenu serait trop grand.

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