Calcul du volume d'un cône de révolution (V = 1/3 r^2 h)

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• V = 1/3 r^2 h : aire du disque de base multipliée par la hauteur, puis divisée par 3. • Un cône a le tiers du volume du cylindre de même rayon et de même hauteur. • Valeur exacte avec ; valeur approchée seulement à la fin. • h est la hauteur SO, pas la génératrice ; si on connaît g : h^2 = g^2 - r^2.

Le cours

Formule La base d'un cône de révolution est un disque d'aire r^2. Comme pour la pyramide, le volume est le tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur : V = 1/3 r^2 h = r^2 h/3 Ici r est le rayon de la base et h la hauteur SO, distance du sommet au plan de la base. Le tiers du cylindre Un cylindre de même rayon et de même hauteur a pour volume r^2 h : le cône en contient exactement le tiers. Il faut verser trois cônes pleins d'eau pour remplir ce cylindre. Valeur exacte et valeur approchée Pour un cône de rayon 4\ cm et de hauteur 6\ cm : V = 1/3 16 6 = 32\ cm^3. C'est la valeur exacte. La calculatrice donne ensuite la valeur approchée : 32 100,5\ cm^3. On n'arrondit qu'à la fin, sinon les erreurs s'accumulent. Méthode Trouver le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, le diviser par 2. Trouver la hauteur : si seule la génératrice g est connue, utiliser le triangle SOM rectangle en O, h^2 = g^2 - r^2. Calculer 1/3 r^2 h en simplifiant par 3, et garder : on obtient la valeur exacte. Donner la valeur approchée demandée et l'unité ; pour une contenance, 1\ cm^3 = 1\ mL et 1\ dm^3 = 1\ L. Attention La hauteur n'est pas la génératrice : la génératrice est plus longue et donnerait un volume trop grand. Le rayon n'est pas le diamètre : comme il est élevé au carré, une confusion multiplie le volume par 4.

Dans ce chapitre