Patrons de pyramides et de cônes de révolution

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Patron de pyramide : le polygone de base et un triangle par côté de la base ; deux bords collés ensemble ont la même longueur. • Patron de cône : un disque de rayon r et un secteur circulaire de rayon g, la génératrice. • Longueur de l'arc du secteur = périmètre de la base = 2 r. • Angle du secteur : = 360^ r/g.

Le cours

Patron d'une pyramide Un patron est une figure plane d'un seul morceau qui, une fois découpée et pliée, forme le solide sans trou ni recouvrement. Le patron d'une pyramide est formé : du polygone de base ; d'une face latérale triangulaire par côté de la base, en général accolée à ce côté. Au pliage, deux bords qui se collent forment une même arête : ils doivent avoir la même longueur. Pour une pyramide régulière à base carrée, on obtient un carré entouré de quatre triangles isocèles superposables, en forme d'étoile. Un tétraèdre régulier d'arête a admet pour patron un triangle équilatéral de côté 2a partagé en quatre triangles équilatéraux par les milieux de ses côtés. Patron d'un cône de révolution Le patron d'un cône de rayon r et de génératrice g est formé de deux morceaux : le disque de base, de rayon r ; un secteur circulaire (portion de disque limitée par deux rayons) de rayon g : c'est la surface latérale déroulée. L'arc du secteur s'enroule exactement autour du cercle de base : la longueur de l'arc est égale au périmètre de la base, 2 r. gαrarc : 2πrsecteur de rayon g et disque de rayon r Angle du secteur Sur un cercle de rayon g, la longueur d'un arc est proportionnelle à son angle : 360^ correspondent au cercle entier, de longueur 2 g, et l'angle correspond à l'arc de longueur 2 r. Par proportionnalité : = 360^ 2 r/2 g = 360^ r/g Comme r Méthode : tracer le patron d'un cône Si la génératrice n'est pas donnée, la calculer dans le triangle SOM : g^2 = h^2 + r^2. Calculer l'angle = 360^ r/g. Tracer au compas un arc de cercle de rayon g et, au rapporteur, deux rayons qui forment l'angle . Tracer le disque de base de rayon r, qui touche l'arc du secteur en un point. Attention Le rayon du secteur est la génératrice, jamais la hauteur ni le rayon de la base. Pour une pyramide, un patron dont les arêtes à coller n'ont pas la même longueur, ou dont deux faces se superposent au pliage, ne convient pas.

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