Description du cône de révolution : sommet, disque de base, axe et génératrice

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Cône de révolution : rotation d'un triangle SOM rectangle en O autour de la droite (SO). • Base : disque de centre O et de rayon r = OM ; hauteur h = SO ; génératrice g = SM. • Toutes les génératrices ont la même longueur et g^2 = h^2 + r^2. • La génératrice est plus longue que la hauteur et que le rayon.

Le cours

Définition Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle SOM rectangle en O autour de la droite (SO), qui porte un côté de l'angle droit. Le côté [OM] décrit la base : un disque de centre O et de rayon r = OM. Le point S est le sommet du cône ; la droite (SO) est son axe, perpendiculaire au plan de la base en O. La hauteur est le segment [SO], de longueur h = SO. L'hypoténuse [SM] décrit la surface latérale. Tout segment qui joint S à un point du cercle de base est une génératrice ; toutes les génératrices ont la même longueur g. SOMhrg Relation entre hauteur, rayon et génératrice Le triangle SOM est rectangle en O et son hypoténuse est la génératrice. Le théorème de Pythagore donne : g^2 = h^2 + r^2 On en tire h^2 = g^2 - r^2 et r^2 = g^2 - h^2. Comme l'hypoténuse est le plus long côté, la génératrice est toujours plus longue que la hauteur et que le rayon : g > h et g > r. Méthode pour calculer une longueur du cône Dessiner à part le triangle SOM rectangle en O et y placer les longueurs connues. Si l'énoncé donne le diamètre de la base, le diviser par 2 pour obtenir r. Appliquer le théorème de Pythagore : on additionne les carrés pour trouver g, on soustrait pour trouver h ou r. Vérifier que la génératrice est la plus grande des trois longueurs. Voir le cône Vu de face, un cône apparaît comme un triangle isocèle : sa base est le diamètre 2r et ses deux côtés égaux sont des génératrices. La hauteur partage ce triangle en deux triangles rectangles superposables à SOM. En perspective cavalière, le disque de base se dessine comme un ovale, sa moitié cachée en pointillés. Attention En faisant tourner le même triangle rectangle autour de l'autre côté de l'angle droit, on obtient un autre cône : la hauteur et le rayon sont échangés, seule la génératrice reste la même. Et pour décrire ou mesurer le cône, la hauteur [SO] est intérieure au solide, tandis que la génératrice est sur sa surface.

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