Bilan : Synthèse et méthode sur les pyramides et les cônes

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Prisme et cylindre : V = A_base h ; pyramide et cône : V = 1/3 A_base h. • Cône : V = 1/3 r^2 h et g^2 = h^2 + r^2 dans le triangle SOM. • Pyramide régulière à base carrée : SI^2 = SO^2 + OI^2, avec OI égal à la moitié du côté. • Patron du cône : secteur de rayon g et d'angle 360^ r/g.

Le cours

Deux familles de solides Solides droits (prisme droit, cylindre) : deux bases parallèles et superposables ; V = A_base h. Solides à sommet (pyramide, cône) : une seule base et un sommet ; V = 1/3 A_base h. V_pyramide = 1/3 A_base h V_cône = 1/3 r^2 h À base et hauteur égales, une pyramide ou un cône a le tiers du volume du prisme ou du cylindre correspondant. Les triangles rectangles cachés Dans un cône : le sommet S, le centre O de la base et un point M du cercle de base forment un triangle rectangle en O, donc g^2 = h^2 + r^2. Dans une pyramide régulière à base carrée : le sommet S, le centre O de la base et le milieu I d'un côté forment un triangle rectangle en O, donc SI^2 = SO^2 + OI^2, avec OI égal à la moitié du côté. Ces triangles permettent de retrouver la hauteur quand l'énoncé donne une génératrice ou un apothème. Vocabulaire et patrons Pyramide : base polygonale, faces latérales triangulaires ; base à n côtés : n + 1 faces, n + 1 sommets, 2n arêtes. Cône : base en disque, sommet sur l'axe perpendiculaire à la base en son centre, génératrices toutes de même longueur. Patron du cône : disque de rayon r et secteur de rayon g, d'angle = 360^ r/g. Méthode pour un problème de volume Reconnaître le ou les solides ; découper un solide composé en morceaux simples. Chercher la hauteur de chaque morceau, au besoin avec un triangle rectangle caché. Calculer l'aire de chaque base, puis chaque volume, avec le 1/3 seulement pour les pyramides et les cônes. Additionner (ou soustraire pour un solide évidé), donner la valeur exacte puis la valeur approchée, avec l'unité et la conversion demandées. Erreurs à éviter Prendre une génératrice, une arête latérale ou un apothème pour la hauteur. Oublier le 1/3, ou le mettre aussi sur la partie cylindre ou prisme d'un solide composé. Utiliser le diamètre au lieu du rayon, ou mélanger les unités.

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