Multiples communs à deux nombres et plus petit multiple commun non nul — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un multiple commun à a et b est divisible à la fois par a et par b. • Pour trouver le plus petit multiple commun non nul avec les décompositions, on retient tous les facteurs premiers présents avec leur plus fort exposant. • Tous les multiples communs de a et b sont des multiples de leur plus petit multiple commun.

Le cours

1. Notion de multiple commun Un entier m est un multiple commun à deux entiers strictement positifs a et b si m est à la fois un multiple de a et un multiple de b. Cela signifie qu'il existe deux entiers k_1 et k_2 tels que m = a k_1 = b k_2. Le nombre 0 est toujours un multiple commun, mais on s'intéresse aux multiples strictement positifs. Le produit a b est un multiple commun évident, mais ce n'est pas nécessairement le plus petit. 2. Recherche du plus petit multiple commun non nul (PPCM) Pour déterminer le plus petit multiple commun strictement positif de deux nombres, on peut : • Méthode 1 : Écrire les premiers multiples non nuls de chacun des deux nombres dans l'ordre croissant jusqu'à trouver le premier nombre qui figure dans les deux listes. • Méthode 2 (décomposition en facteurs premiers) : On prend tous les facteurs premiers apparaissant dans au moins l'une des deux décompositions, chacun affecté de son plus grand exposant. Exemple avec 12 = 2^2 3 et 18 = 2 3^2 : les facteurs premiers sont 2 et 3. Le plus grand exposant de 2 est 2, et celui de 3 est 2. Le plus petit multiple commun est donc 2^2 3^2 = 4 9 = 36. 3. Erreur fréquente de méthode Ne confondez pas le plus petit multiple commun avec le plus grand diviseur commun : pour le multiple commun, on prend les plus grands exposants de tous les facteurs, alors que pour le diviseur commun, on ne prend que les facteurs communs avec leurs plus petits exposants.

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