Prouver une propriété arithmétique par le calcul littéral : pairs et impairs — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un entier pair s'écrit 2k et un entier impair s'écrit 2k + 1, avec k entier. • Deux entiers consécutifs se notent n et n + 1. • Pour prouver une propriété générale, on utilise le calcul littéral ; pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Le cours

1. Écritures littérales des nombres pairs et impairs Pour démontrer une propriété générale vraie pour tous les nombres entiers, donner quelques exemples numériques ne constitue pas une preuve. On doit utiliser une variable littérale représentant un entier quelconque n ou k. • Un nombre entier est pair s'il s'écrit sous la forme 2k, où k est un entier relatif. • Un nombre entier est impair s'il s'écrit sous la forme 2k + 1, où k est un entier relatif. • Deux entiers consécutifs s'écrivent sous la forme n et n + 1. 2. Méthode pour prouver qu'un nombre est pair ou impair Pour démontrer qu'une expression est paire, on développe ou on factorise pour faire apparaître explicitement un facteur 2 sous la forme 2 (), où la parenthèse est un entier. Pour démontrer qu'une expression est impaire, on cherche à l'écrire sous la forme 2 () + 1. Exemple : la somme de deux entiers impairs 2a+1 et 2b+1 vaut : (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) Comme a+b+1 est un entier, ce résultat est bien un multiple de 2, donc un nombre pair. 3. Exemple vs Preuve et rôle du contre-exemple Vérifier qu'une propriété fonctionne pour n=1, n=2 et n=3 ne prouve absolument pas qu'elle est toujours vraie. En revanche, pour démontrer qu'une affirmation générale est fausse, un unique contre-exemple suffit amplement.

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