Bilan : Synthèse et méthode sur l'arithmétique et les nombres premiers — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ; 1 n'est pas premier. • La décomposition unique en facteurs premiers sert à simplifier et à trouver des diviseurs ou des multiples communs. • Partage maximal : plus grand diviseur commun ; première coïncidence : plus petit multiple commun non nul. • Propriété générale : preuve par calcul littéral ; affirmation fausse : un contre-exemple suffit.

Le cours

L'essentiel du chapitre Diviseurs et multiples : b divise a quand a = b k avec k entier, c'est-à-dire quand le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Critères : 2, 5, 10 (chiffre des unités), 4 (deux derniers chiffres), 3 et 9 (somme des chiffres). Nombres premiers : exactement deux diviseurs, 1 et eux-mêmes. À connaître : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Test : diviser par les premiers successifs tant que leur carré ne dépasse pas le nombre. Décomposition : tout entier N 2 est, de façon unique, un produit de facteurs premiers, par exemple 600 = 2^3 3 5^2. Fractions irréductibles : on barre les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur. Diviseurs et multiples communs : le plus grand diviseur commun s'obtient avec les facteurs communs au plus petit exposant, le plus petit multiple commun avec tous les facteurs au plus grand exposant. Quel outil pour quelle question ? Question poséeOutil « n est-il divisible par … ? »Critères de divisibilité, ou reste de la division euclidienne « n est-il premier ? »Divisions par 2, 3, 5, 7… jusqu'à ce que p p > n « Rendre irréductible »Décompositions, puis facteurs communs barrés « Nombre maximal de lots », « plus grands carreaux »Plus grand diviseur commun « Quand se retrouvent-ils ? », engrenagesPlus petit multiple commun non nul « Montrer que c'est toujours vrai »Calcul littéral : écrire n, n + 1, 2k, 2k + 1… Démontrer une propriété de divisibilité Des exemples ne prouvent pas une propriété générale : il faut un calcul littéral. Un entier pair s'écrit 2k, un entier impair 2k + 1, et trois entiers consécutifs n, n + 1 et n + 2. Pour prouver qu'un nombre est un multiple de 3, on l'écrit sous la forme 3 (un entier). Exemple : n(n + 1) est toujours pair, car de deux entiers consécutifs l'un est pair, et un produit dont un facteur est pair est pair. À l'inverse, pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. Rédaction et erreurs fréquentes Vérifier chaque décomposition en remultipliant les facteurs : on doit retrouver le nombre de départ. Tous les facteurs d'une décomposition doivent être premiers ; 1 n'est pas premier ; impair ne veut pas dire premier (51 = 3 17). Dans un problème, répondre exactement à la question posée (nombre de lots ou contenu d'un lot, dents défilées ou nombre de tours) par une phrase avec l'unité.

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