Reconnaître un carré parfait et extraire des racines carrées par décomposition — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un entier est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs. • Pour calculer la racine carrée d'un carré parfait, on divise tous les exposants par 2 : a^2p = a^p. • Exemple : 900 = 2^2 3^2 5^2, donc 900 = 2^1 3^1 5^1 = 30.

Le cours

1. Définition et caractérisation d'un carré parfait Un entier positif N est un carré parfait s'il est égal au carré d'un autre entier, c'est-à-dire s'il existe un entier k tel que N = k^2. Sa racine carrée N est alors un nombre entier exact. Un entier est un carré parfait si et seulement si, dans sa décomposition en produit de facteurs premiers, tous les exposants sont pairs. Exemple : 144 = 2^4 3^2. Les exposants 4 et 2 sont pairs, donc 144 est un carré parfait. 2. Calculer la racine carrée exacte grâce à la décomposition Lorsque la décomposition d'un carré parfait est connue, on obtient sa racine carrée en divisant chaque exposant par 2 : Pour N = 144 = 2^4 3^2 : 144 = 2^4 3^2 = 2^4 2 3^2 2 = 2^2 3^1 = 4 3 = 12 Cette méthode permet de calculer la racine carrée exacte de très grands nombres sans calculatrice, simplement en effectuant leur décomposition en facteurs premiers. 3. Rendre un entier carré parfait Si un nombre n'est pas un carré parfait, certains de ses exposants sont impairs. Pour trouver le plus petit entier par lequel le multiplier afin d'obtenir un carré parfait, il suffit de multiplier par les facteurs premiers ayant un exposant impair avec un exposant 1.

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