Définition d'un nombre premier et liste des premiers jusqu'à 30

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même ; 0 et 1 ne sont pas premiers. • Nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ; 2 est le seul pair. • Pour tester n, on essaie les diviseurs premiers 2, 3, 5, 7… et on s'arrête dès que leur carré dépasse n.

Le cours

Définition Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Un entier supérieur ou égal à 2 qui n'est pas premier est dit composé : il possède au moins un autre diviseur. 7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7. 15 est composé : 15 = 3 5, il a quatre diviseurs (1, 3, 5 et 15). 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur. 0 non plus : il est divisible par tous les entiers non nuls. 2 est le seul nombre premier pair : tout autre nombre pair est divisible par 1, par 2 et par lui-même, soit au moins trois diviseurs. Les nombres premiers inférieurs à 30 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 Ces dix nombres sont à connaître par cœur. Les suivants sont 31, 37, 41, 43 et 47. Il existe une infinité de nombres premiers : Euclide l'a démontré il y a plus de deux mille ans. Méthode : tester si un nombre est premier Éliminer les cas immédiats grâce aux critères : un nombre pair autre que 2, un nombre terminé par 0 ou 5 autre que 5, un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 3 autre que 3 ne sont pas premiers. Diviser ensuite le nombre n par les nombres premiers suivants : 7, 11, 13, 17… S'arrêter dès que le carré du nombre premier essayé dépasse n : si aucune division n'est tombée juste, n est premier. Pourquoi s'arrêter là ? Si n = a b avec a b, alors a a a b = n : le plus petit facteur a un carré inférieur ou égal à n, et lui (ou l'un de ses diviseurs premiers, encore plus petit) aurait déjà été trouvé. Exemple : 91 est impair, 9 + 1 = 10 n'est pas un multiple de 3 et 91 ne se termine ni par 0 ni par 5 ; mais la division par 7 tombe juste : 91 = 7 13, donc 91 n'est pas premier. Attention Impair ne veut pas dire premier : 9, 15, 21, 25, 27 et 33 sont impairs et composés. Un nombre premier n'a pas non plus d'« allure » particulière : 97 est premier, alors que 91 ne l'est pas.

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