Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Tout entier N 2 s'écrit de façon unique, à l'ordre près, comme un produit de facteurs premiers. • Méthode : diviser par 2 tant que c'est possible, puis par 3, 5, 7, 11… jusqu'au quotient 1. • On regroupe les facteurs égaux en puissances : 588 = 2^2 3 7^2.

Le cours

Le théorème de décomposition Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, appelés ses facteurs premiers. Cette écriture est unique, à l'ordre des facteurs près : c'est la décomposition en produit de facteurs premiers. 360 = 2 2 2 3 3 5 = 2^3 3^2 5 On regroupe les facteurs égaux sous forme de puissances et on les range dans l'ordre croissant. Un nombre premier est à lui seul sa décomposition : 13 = 13. Méthode des divisions successives On divise le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir 1. On présente souvent les calculs en colonne, comme ici pour 588 : 5882 2942 1473 497 77 1 Les diviseurs lus dans la colonne de droite donnent 588 = 2^2 3 7^2. On peut aussi partir d'un produit connu et découper chaque facteur : 360 = 36 10 = (2^2 3^2) (2 5) = 2^3 3^2 5. Les deux méthodes donnent forcément le même résultat, puisque la décomposition est unique. À quoi sert la décomposition ? Lire des diviseurs : un nombre divise N quand ses facteurs premiers figurent dans la décomposition de N avec des exposants au moins aussi grands. Avec 360 = 2^3 3^2 5, le nombre 12 = 2^2 3 divise 360, mais 27 = 3^3 ne le divise pas. Simplifier une fraction pour la rendre irréductible. Trouver des diviseurs communs ou des multiples communs, dans les problèmes de partage et d'engrenages. Reconnaître le carré d'un entier : tous les exposants de sa décomposition sont pairs, comme pour 144 = 2^4 3^2 = 12^2. Attention Une décomposition ne contient que des nombres premiers : 360 = 2^3 45 ou 360 = 8 9 5 ne sont pas des décompositions en facteurs premiers, car 45, 8 et 9 ne sont pas premiers. Vérifie toujours le résultat en recalculant le produit.

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