Multiples, diviseurs et critères de divisibilité de 5ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• b divise a s'il existe un entier k tel que a = b k ; on dit aussi que a est un multiple de b. • Division euclidienne : a = b q + r avec 0 r < b ; b divise a exactement quand r = 0. • Par 2, 5 et 10 : chiffre des unités ; par 4 : les deux derniers chiffres ; par 3 et 9 : somme des chiffres.

Le cours

Multiple et diviseur Soient a et b deux nombres entiers, avec b 0. On dit que a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = b k. On dit alors aussi que b est un diviseur de a, que b divise a, ou que a est divisible par b. 84 = 7 12 Donc 7 et 12 sont des diviseurs de 84, et 84 est un multiple de 7 et de 12. 0 est un multiple de tout entier, car 0 = b 0. 1 divise tout entier, et tout entier non nul est un diviseur de lui-même. Les multiples de b s'obtiennent en multipliant b par 0, 1, 2, 3… : il y en a une infinité, alors qu'un entier non nul n'a qu'un nombre fini de diviseurs. Le lien avec la division euclidienne Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est écrire a = b q + r, où le quotient q et le reste r sont des entiers, avec 0 r 158 = 7 22 + 4 avec 0 4 Le reste vaut 4 : il n'est pas nul, donc 7 ne divise pas 158. Règle : b divise a exactement quand le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Ne confonds pas ce quotient entier 22 avec le quotient décimal 158 7 22,57 affiché par la calculatrice : un quotient décimal non entier signale justement que la division « ne tombe pas juste ». Les critères de divisibilité Par 2 : le chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6 ou 8). Par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5. Par 10 : le chiffre des unités est 0. Par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4 ; pour 1\,716, on regarde 16 = 4 4, donc 1\,716 est divisible par 4. Par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3. Par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9. Un nombre divisible par 9 l'est aussi par 3, mais la réciproque est fausse : 12 est divisible par 3 et pas par 9. Attention aux raccourcis Un nombre divisible par 2 et par 3 est divisible par 6. Mais on ne peut pas toujours multiplier deux diviseurs : 12 est divisible par 4 et par 6, et pourtant il n'est pas divisible par 4 6 = 24.

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