Problèmes de calendrier et de cycles périodiques résolus par la division euclidienne — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Un cycle de longueur p se modélise par la division euclidienne N = p q + r avec 0 r < p. • Le quotient q correspond au nombre de tours ou cycles complets. • Le reste entier r donne l'état exact dans le cycle : pour les jours de la semaine, on divise par 7.

Le cours

1. Modéliser un phénomène cyclique par la division euclidienne De nombreuses situations de la vie courante ou des sciences se répètent selon un cycle régulier de période fixe p (les jours de la semaine avec une période de 7, les heures avec une période de 24 ou de 12, les feux de circulation, etc.). Pour déterminer l'état d'un système après N étapes dans un cycle de période p, on effectue la division euclidienne de N par p : N = p q + r avec 0 r • Le quotient q indique le nombre de cycles complets écoulés. • Le reste r indique le nombre de pas à avancer depuis le début du cycle en cours. 2. Application aux jours de la semaine Une semaine compte 7 jours. Si un événement a lieu un mardi (par exemple le jour zéro), le même jour de la semaine se répétera exactement tous les multiples de 7 jours : Pour connaître le jour dans 100 jours : 100 = 7 14 + 2 Il s'écoulera 14 semaines complètes, plus un décalage de 2 jours. Deux jours après mardi sera un jeudi ! Si l'on cherche une date dans le passé, on recule du nombre de jours donné par le reste. 3. Erreur fréquente sur le quotient et le reste Attention à ne pas utiliser le résultat décimal de la division sur calculatrice sans précaution : dans 100 7 14,2857, la décimale 0,2857 ne représente pas le reste ! Le reste est un nombre entier r = 100 - (7 14) = 2.

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