Problèmes de partages équitables et d'engrenages

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Partage en lots identiques sans reste : le nombre de lots est un diviseur commun des quantités, le plus grand pour un maximum. • Contenu d'un lot = quantité nombre de lots. • Coïncidence de phénomènes répétés ou engrenage : plus petit multiple commun non nul des périodes ou des nombres de dents.

Le cours

Reconnaître le type de problème Deux grandes familles de problèmes se résolvent avec les diviseurs et les multiples : Partager ou découper une quantité qui existe déjà, en lots identiques et sans reste (sachets, bouquets, équipes, carreaux) : le nombre de lots doit diviser chaque quantité. On cherche un diviseur commun, le plus grand si l'on veut le nombre maximal de lots ou les carreaux les plus grands. Répéter une action dans le temps jusqu'à une coïncidence (feux, bus, phares, roues dentées) : la durée écoulée ou le nombre de dents défilées doit être un multiple de chaque période. On cherche un multiple commun, le plus petit non nul pour « la première fois ». Méthode pour un partage Décomposer les quantités en produits de facteurs premiers. Le nombre maximal de lots est le plus grand diviseur commun : facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant. Diviser chaque quantité par ce nombre de lots pour obtenir la composition d'un lot. Exemple : une pièce de 360 cm sur 252 cm doit être couverte de carreaux carrés identiques, les plus grands possibles, sans découpe. Le côté doit diviser 360 = 2^3 3^2 5 et 252 = 2^2 3^2 7 : le plus grand possible est 2^2 3^2 = 36 cm, et il faut 10 7 = 70 carreaux. Méthode pour une coïncidence ou un engrenage Exprimer les périodes dans la même unité, puis les décomposer. Le plus petit multiple commun non nul s'obtient en prenant tous les facteurs premiers présents, chacun avec le plus grand exposant. On peut aussi écrire les multiples du plus grand nombre jusqu'à trouver un multiple de l'autre. Pour un engrenage, ce multiple est le nombre de dents qui ont défilé ; le nombre de tours de chaque roue s'obtient en le divisant par son nombre de dents. Exemple : deux phares s'allument ensemble, puis l'un toutes les 18 s et l'autre toutes les 24 s. Les multiples de 24 sont 24, 48, 72… et 72 = 18 4 : ils se rallument ensemble au bout de 72 s, soit 1 min 12 s. Attention Lis la question jusqu'au bout : le nombre de lots et le contenu d'un lot sont deux réponses différentes, tout comme le nombre de dents défilées et le nombre de tours. Pour des carreaux, c'est le côté qui doit diviser la longueur et la largeur, pas l'aire.

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