Simplification de fractions et fractions irréductibles

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• a/b est irréductible quand a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1. • On décompose a et b en facteurs premiers, puis on barre les facteurs communs : le résultat est irréductible. • On simplifie des facteurs d'un produit, jamais des termes d'une somme.

Le cours

Simplifier, fraction irréductible Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun non nul : on obtient une fraction égale, a/b = a k/b k. Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1 : on dit qu'ils sont premiers entre eux. Les fractions égales à 2/3, comme 4/6, 10/15 ou 84/126, ont toutes la même forme irréductible 2/3 : c'est elle que l'on donne comme résultat. Méthode par les décompositions : une seule étape Décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers. Barrer les facteurs premiers communs, autant de fois qu'ils apparaissent en haut et en bas. Multiplier les facteurs restants : la fraction obtenue est irréductible, puisqu'il ne reste aucun facteur premier commun. 180/126 = 2^2 3^2 5/2 3^2 7 = 2 5/7 = 10/7 Les facteurs barrés forment le plus grand diviseur commun, 2 3^2 = 18 : on a simplifié par 18 en une seule fois. Vérifier et calculer avec des fractions irréductibles Pour vérifier qu'une fraction est irréductible, il suffit de constater que le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur premier commun : 35/48 est irréductible car 35 = 5 7 et 48 = 2^4 3. Dans un produit de fractions, on décompose et on simplifie avant de multiplier, ce qui évite les grands nombres : 75/28 49/45 = 3 5^2 7^2/2^2 7 3^2 5 = 5 7/2^2 3 = 35/12 Attention Avec les critères de divisibilité, on peut aussi simplifier par étapes (par 2, par 3, par 5…), mais il faut alors recommencer jusqu'à ce qu'il ne reste plus aucun diviseur commun : une fraction simplifiée une fois n'est pas forcément irréductible. Et l'on ne simplifie que des facteurs d'un produit, jamais des termes d'une somme.

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