Liste des diviseurs d'un entier et diviseurs communs à deux nombres

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Les diviseurs de N vont par paires d et N d ; on teste jusqu'à ce que d d dépasse N. • Plus grand diviseur commun à a et b : produit des facteurs premiers communs, chacun avec son plus petit exposant. • Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur plus grand diviseur commun. • a et b sont premiers entre eux quand leur seul diviseur commun est 1.

Le cours

Lister tous les diviseurs d'un entier Les diviseurs d'un entier N vont par paires : si d divise N, alors N d est aussi un diviseur de N, puisque N = d (N d). On teste donc les entiers 1, 2, 3… et, à chaque division qui tombe juste, on note les deux diviseurs du couple. On s'arrête dès que le carré de l'entier testé dépasse N : les couples suivants se répéteraient dans l'autre sens. Pour 60 : 1 60, 2 30, 3 20, 4 15, 5 12, 6 10 ; 7 ne divise pas 60 et 8^2 = 64 > 60. Les diviseurs de 60 sont donc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60. Diviseurs communs Un diviseur commun à deux entiers a et b est un entier qui divise à la fois a et b ; le nombre 1 en est toujours un. Pour les trouver, on peut comparer les deux listes : les diviseurs de 84 sont 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84, donc les diviseurs communs à 84 et 60 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Méthode avec les décompositions Décomposer a et b en produits de facteurs premiers. Garder les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec le plus petit des deux exposants : leur produit est le plus grand diviseur commun à a et b. Les diviseurs communs à a et b sont exactement les diviseurs de ce plus grand diviseur commun. Avec 84 = 2^2 3 7 et 60 = 2^2 3 5, le plus grand diviseur commun est 2^2 3 = 12, et l'on retrouve bien les diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Nombres premiers entre eux Deux entiers dont le seul diviseur commun est 1 sont dits premiers entre eux. C'est le cas de 8 et 15, car 8 = 2^3 et 15 = 3 5 n'ont aucun facteur premier commun. Deux entiers consécutifs, comme n et n + 1, sont toujours premiers entre eux : un diviseur commun diviserait aussi leur différence, qui vaut 1. Attention N'oublie ni 1 ni le nombre lui-même dans la liste des diviseurs. Ne confonds pas « être premier » et « être premiers entre eux » : 8 et 15 ne sont pas premiers, mais ils sont premiers entre eux. Enfin, pour le plus grand diviseur commun, on prend le plus petit exposant de chaque facteur commun ; prendre le plus grand exposant donnerait un multiple commun.

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