La fonction carré : tableau de valeurs, courbe et résolution graphique — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• La fonction carré est définie par f(x) = x^2. Son image est toujours positive ou nulle (x^2 0). • Sa courbe représentative est une parabole ayant l'axe des ordonnées pour axe de symétrie. • L'équation x^2 = k admet deux solutions opposées -k et k lorsque k > 0.

Le cours

1. Définition et tableau de valeurs de la fonction carré La fonction carré est la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par f(x) = x^2. À chaque nombre x, elle associe son carré. Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul : pour tout x, on a x^2 0. Pour tout nombre réel x, f(x) = x^2 et f(-x) = (-x)^2 = x^2 Deux nombres opposés ont donc la même image par la fonction carré : par exemple, f(3) = 3^2 = 9 et f(-3) = (-3)^2 = 9. Cette propriété se traduit par une symétrie dans le tableau de valeurs. 2. Allure de la parabole et symétrie La représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole. Le sommet de cette parabole est l'origine du repère O(0\,;\,0), qui correspond au minimum de la fonction. • La courbe est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses (ou sur l'axe en O). • L'axe des ordonnées (droite d'équation x = 0) est un axe de symétrie de la courbe. La fonction carré n'est pas une fonction linéaire : sa courbe n'est pas une droite, et un tableau de valeurs de la fonction carré n'est pas un tableau de proportionnalité. 3. Résolution graphique de l'équation x^2 = k Pour résoudre graphiquement l'équation x^2 = k : • Si k > 0, la droite horizontale y = k coupe la parabole en deux points distincts d'abscisses opposées -k et k. Il y a deux solutions. • Si k = 0, il n'y a qu'une seule solution : x = 0. • Si k < 0, la droite y = k ne coupe pas la parabole : il n'y a aucune solution dans les réels.

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