Calcul d'images et recherche d'antécédents par le calcul

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Image de a : on calcule f(a) en remplaçant x par a. • Antécédent(s) de k : on résout l'équation f(x) = k ; chaque solution est un antécédent, et sans solution k n'en a pas. • On vérifie toujours un antécédent trouvé en calculant son image.

Le cours

Calculer l'image d'un nombre Pour calculer l'image de a, on remplace x par a dans l'expression de f(x), entre parenthèses si a est négatif, et on applique les priorités opératoires. Avec f(x) = -x^2 + 4x, le carré se calcule avant de prendre l'opposé : f(-3) = -(-3)^2 + 4 (-3) = -9 - 12 = -21 Chercher les antécédents d'un nombre Chercher les antécédents de k, c'est trouver tous les nombres x tels que f(x) = k : on résout l'équation f(x) = k. Chaque solution est un antécédent ; s'il n'y a pas de solution, k n'a pas d'antécédent. Équation du premier degré : avec f(x) = 5x - 2, les antécédents de 13 vérifient 5x - 2 = 13, donc 5x = 15 et x = 3. Équation produit nul : avec g(x) = (x - 4)(2x + 6), les antécédents de 0 vérifient x - 4 = 0 ou 2x + 6 = 0, donc x = 4 ou x = -3. Équation x^2 = a : avec h(x) = x^2 - 7, chercher les antécédents de 18 revient à résoudre x^2 = 25, d'où x = 5 ou x = -5 ; pour -10, on obtiendrait x^2 = -3 : aucun antécédent. Méthode Lire la consigne : « image de a » : on calcule f(a) ; « antécédent(s) de k » : on résout f(x) = k. Résoudre en se ramenant à une équation connue : premier degré, produit nul ou x^2 = a. Vérifier chaque solution en calculant son image. Conclure avec le bon article : « l'image de… », « un antécédent de… » ou « les antécédents de… ». Attention « L'antécédent de 13 » n'est pas f(13) : avec f(x) = 5x - 2, on a f(13) = 63, alors que l'antécédent de 13 est 3. Ne réponds jamais à une question d'antécédent sans avoir écrit l'équation f(x) = k.

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